"대수적 위상수학"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지의 위치를 <a href="/pages/1946966">수학과 학부에서 배우는 과목들</a>페이지로 이동하였습니다.)
 
(사용자 2명의 중간 판 42개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 +
==개요==
  
 +
* 대수적인 도구를 통해 위상적인 공간을 이해하는 법을 배움.
 +
* 곡면의 분류 정리, fundamental group, [[덮개 공간 (covering space)]], 호몰로지 등을 공부함
 +
* 대학원 수준에서는 n차원 다양체를 대상으로 대수적으로 표현되는 위상적 불변량을 찾음.
 +
 +
 +
 +
 +
==선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들==
 +
 +
*  기초적인 일반위상수학
 +
** product space
 +
** quotient space
 +
** 연결, 컴팩트
 +
* [[추상대수학]]
 +
** 군의 정의
 +
** 유한생성아벨군의 기본정리
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==다루는 대상==
 +
 +
* 곡면
 +
* Simplicial complex
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==중요한 개념 및 정리==
 +
 +
* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2|오일러의 정리]]
 +
** V-E+F = 2- 2g
 +
*  곡면의 분류 정리
 +
**  컴팩트 곡면
 +
*** 종수와 orientability
 +
**  경계가 있는 곡면
 +
*** 종수,orientability, 경계의 개수
 +
*  호모토피
 +
**  공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.
 +
*** 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
 +
** 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.
 +
 +
[[파일:1954084-180px-Homotopy_between_two_paths.png]]
 +
 +
*  fundamental group
 +
** 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
 +
** 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
 +
** 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
 +
** 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
 +
** 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
 +
** 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
 +
*  단일연결된 공간(simply connected space)
 +
**  모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
 +
*** 구면은 단일연결되어있음.
 +
*** 도넛은 단일연결되어있지 않음.
 +
** [[푸앵카레의 추측|포앵카레의 추측]]
 +
* [[덮개 공간 (covering space)]]
 +
* [[보편 덮개 (universal covering)]]
 +
* Hairy ball theorem
 +
* 호몰로지
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==곡면의 fundamental group==
 +
 +
* 종수가 <math>g</math>인 닫힌 곡면의 fundamental group
 +
 +
<math>\langle a_1,b_1, a_2, b_2, \cdots a_g, b_g \mid a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1}a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1}\cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}=1 \rangle\,\!</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==유명한 정리 혹은 생각할만한 문제==
 +
 +
* 포앵카레-호프 정리
 +
* [[브라우어 부동점 정리]]
 +
* 레프쉐츠 부동점 정리
 +
 +
 +
 +
==다른 과목과의 관련성==
 +
 +
* [[일반위상수학]]
 +
* [[다변수미적분학]]
 +
** 벡터장
 +
**  선적분
 +
*** 어떤 벡터장의 선적분이 경로에 의존하는가 하지 않는가의 문제와 밀접하게 관련
 +
** 포앵카레 보조정리
 +
* [[미분기하학]]
 +
** 가우스-보네 정리
 +
* [[복소함수론]]
 +
** [[리만 사상 정리 Riemann mapping theorem and the uniformization theorem|Uniformization theorem]] 과 단일연결된 상수곡률곡면
 +
** 호모토피와 코쉬정리
 +
** 모노드로미
 +
* [[추상대수학]]
 +
**  군론
 +
*** fundamental group
 +
*** covering space의 deck transformation group
 +
**  유한생성 아벨군의 기본정리
 +
*** 호몰로지를 이해하기 위해 필요
 +
 +
 +
 +
==관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들==
 +
 +
* 대학원 수준의 대수적위상수학
 +
* 벡터번들
 +
* 호몰로지 대수
 +
* Characteristic class
 +
*  리만곡면론
 +
** Branched covering
 +
 +
 +
 +
==표준적인 교과서==
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==추천도서 및 보조교재==
 +
 +
* [http://www.amazon.com/Algebraic-Topology-William-Fulton/dp/0387943277 Algebraic Topology]
 +
** W. Fulton
 +
** 표준적인 대수적 위상수학 교과서라 할 수는 없으나, 대수적위상수학의 중요한 개념들을 리만곡면론을 비롯한 실전에 적용하는 형태로 배울수 있음.
 +
* [http://www.amazon.com/Eulers-Gem-Polyhedron-Formula-Topology/dp/0691126771 Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology]
 +
** David S. Richeson
 +
** 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==리뷰, 에세이, 강의노트==
 +
* López, Rafael. “How Does a Topologist Classify the Letters of the Alphabet?” arXiv:1410.3364 [math], October 9, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.3364.
 +
* Peter Hilton, [http://www.jstor.org/stable/2689545 A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century], <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 61, No. 5 (Dec., 1988), pp. 282-291
 +
 +
 +
==관련논문==
 +
* Gugnin, Dmitry V. ‘On Integral Cohomology Ring of Symmetric Products’. arXiv:1502.01862 [math], 6 February 2015. http://arxiv.org/abs/1502.01862.
 +
 +
[[분류:교과목]]
 +
 +
== 노트 ==
 +
 +
* Having constructed a wiring diagram in this way, Sizemore and co applied the techniques of algebraic topology to study its structure.<ref name="ref_547d">[https://www.technologyreview.com/2016/08/24/107808/how-the-mathematics-of-algebraic-topology-is-revolutionizing-brain-science/ How the Mathematics of Algebraic Topology Is Revolutionizing Brain Science]</ref>
 +
* The most important classes of objects whose properties are studied in algebraic topology include complexes (polyhedra, cf.<ref name="ref_996a">[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_topology Encyclopedia of Mathematics]</ref>
 +
* A major role in algebraic topology is played by special invariants connected with various algebraic structures over the fundamental group.<ref name="ref_996a" />
 +
* This is another type of problem dealt with by algebraic topology.<ref name="ref_996a" />
 +
* They were used to improve the calculation methods of algebraic topology.<ref name="ref_996a" />
 +
* This book is written as a textbook on algebraic topology.<ref name="ref_23b5">[https://www.ems-ph.org/doi/10.4171/048 European Mathematical Society Publishing House]</ref>
 +
* In mathematics, homotopy groups are used in algebraic topology to classify topological spaces.<ref name="ref_cbb4">[https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_topology Algebraic topology]</ref>
 +
* You should read something about the basics of algebraic topology ( topological spaces, fundamental group, covering spaces).<ref name="ref_4a99">[https://www.math.uni-hamburg.de/home/schweigert/ss16/atopology.html Algebraic Topology (Master)]</ref>
 +
* The discipline of algebraic topology is popularly known as "rubber-sheet geometry" and can also be viewed as the study of disconnectivities.<ref name="ref_8575">[https://mathworld.wolfram.com/AlgebraicTopology.html Algebraic Topology -- from Wolfram MathWorld]</ref>
 +
===소스===
 +
<references />
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q212803 Q212803]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'algebraic'}, {'LEMMA': 'topology'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:02 기준 최신판

개요

  • 대수적인 도구를 통해 위상적인 공간을 이해하는 법을 배움.
  • 곡면의 분류 정리, fundamental group, 덮개 공간 (covering space), 호몰로지 등을 공부함
  • 대학원 수준에서는 n차원 다양체를 대상으로 대수적으로 표현되는 위상적 불변량을 찾음.



선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

  • 기초적인 일반위상수학
    • product space
    • quotient space
    • 연결, 컴팩트
  • 추상대수학
    • 군의 정의
    • 유한생성아벨군의 기본정리



다루는 대상

  • 곡면
  • Simplicial complex



중요한 개념 및 정리

  • 오일러의 정리
    • V-E+F = 2- 2g
  • 곡면의 분류 정리
    • 컴팩트 곡면
      • 종수와 orientability
    • 경계가 있는 곡면
      • 종수,orientability, 경계의 개수
  • 호모토피
    • 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.
      • 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
    • 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.

1954084-180px-Homotopy between two paths.png

  • fundamental group
    • 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
    • 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
    • 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
    • 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
    • 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
    • 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
  • 단일연결된 공간(simply connected space)
    • 모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
      • 구면은 단일연결되어있음.
      • 도넛은 단일연결되어있지 않음.
    • 포앵카레의 추측
  • 덮개 공간 (covering space)
  • 보편 덮개 (universal covering)
  • Hairy ball theorem
  • 호몰로지



곡면의 fundamental group

  • 종수가 \(g\)인 닫힌 곡면의 fundamental group

\(\langle a_1,b_1, a_2, b_2, \cdots a_g, b_g \mid a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1}a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1}\cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}=1 \rangle\,\!\)



유명한 정리 혹은 생각할만한 문제


다른 과목과의 관련성


관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

  • 대학원 수준의 대수적위상수학
  • 벡터번들
  • 호몰로지 대수
  • Characteristic class
  • 리만곡면론
    • Branched covering


표준적인 교과서

추천도서 및 보조교재



리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

노트

  • Having constructed a wiring diagram in this way, Sizemore and co applied the techniques of algebraic topology to study its structure.[1]
  • The most important classes of objects whose properties are studied in algebraic topology include complexes (polyhedra, cf.[2]
  • A major role in algebraic topology is played by special invariants connected with various algebraic structures over the fundamental group.[2]
  • This is another type of problem dealt with by algebraic topology.[2]
  • They were used to improve the calculation methods of algebraic topology.[2]
  • This book is written as a textbook on algebraic topology.[3]
  • In mathematics, homotopy groups are used in algebraic topology to classify topological spaces.[4]
  • You should read something about the basics of algebraic topology ( topological spaces, fundamental group, covering spaces).[5]
  • The discipline of algebraic topology is popularly known as "rubber-sheet geometry" and can also be viewed as the study of disconnectivities.[6]

소스

  1. ↑ How the Mathematics of Algebraic Topology Is Revolutionizing Brain Science
  2. ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 Encyclopedia of Mathematics
  3. ↑ European Mathematical Society Publishing House
  4. ↑ Algebraic topology
  5. ↑ Algebraic Topology (Master)
  6. ↑ Algebraic Topology -- from Wolfram MathWorld

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'algebraic'}, {'LEMMA': 'topology'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=대수적_위상수학&oldid=52223"