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<h5>개요</h5>
 
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* 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다.
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* 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다
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* 생각할 거리가 풍부한 좋은 수학 문제.
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* 초등정수론에 대해 공부할 수 있는 소재가 풍부한 좋은 수학 문제<br>
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*  수학자 가우스가 소년 시절에 이를 열심히 공부했음.<br>
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** 순환마디의 길이
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*  수학자 가우스가 소년 시절에 이에 대하여 연구하였다<br>
 
** [[가우스와 순환소수]]
 
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* 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571<br> 142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
 
* 142857 X 7 = 999999
 
* 142857 X 7 = 999999
 
* 142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99
 
* 142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99
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*  이 성질은 다음 순환소수 전개를 통하여 이해할 수 있다<br><math>1/7=0.142857142857\cdots</math><br>
  
 
 
 
 
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<h5>순환마디의 길이</h5>
 
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* <math>1\over n</math> 의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
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* <math>1/n</math>의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
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* n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자.
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* n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자
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*  원소 10의 군  <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> 에서의 order가 바로 <math>1\over n</math> 의 순환마디의 길이가 됨<br>
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*  원소 10의 군  <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> 에서의 order가 바로  <math>1/n</math>의 순환마디의 길이가 됨<br>
 
** 정의에 대해서는 [[합동식과 군론]] 참조
 
** 정의에 대해서는 [[합동식과 군론]] 참조
 
* 다시 말하자면, <math>10^k \equiv 1 \pmod n</math> 를 만족시키는 가장 작은 자연수 <math>k</math>가 순환 마디의 길이가 된다
 
* 다시 말하자면, <math>10^k \equiv 1 \pmod n</math> 를 만족시키는 가장 작은 자연수 <math>k</math>가 순환 마디의 길이가 된다
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* [[간단한 분수의 순환소수 전개 목록|1/n 의 순환소수 전개 목록]]에서
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* <math>n</math>이 소수라면, <math>1/n</math>
  
 
 
 
 
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<h5>순환마디를 얻는 과정의 이해</h5>
  
 
<math>\frac{1}{7}=0.142857142857\cdots</math> 를 얻는 나누기 과정을 살펴보자.
 
<math>\frac{1}{7}=0.142857142857\cdots</math> 를 얻는 나누기 과정을 살펴보자.

2009년 12월 26일 (토) 08:14 판

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개요
  • 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다
  • 초등정수론에 대해 공부할 수 있는 소재가 풍부한 좋은 수학 문제
    • 순환마디의 길이
  • 수학자 가우스가 소년 시절에 이에 대하여 연구하였다
  • 1/n 의 순환소수 전개 목록을 함께 참고

 

 

142857
  • 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571
    142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
  • 142857 X 7 = 999999
  • 142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99
  • 이 성질은 다음 순환소수 전개를 통하여 이해할 수 있다
    \(1/7=0.142857142857\cdots\)

 

 

순환마디의 길이
  • \(1/n\)의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
  • n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자
  • 원소 10의 군  \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 에서의 order가 바로  \(1/n\)의 순환마디의 길이가 됨
  • 다시 말하자면, \(10^k \equiv 1 \pmod n\) 를 만족시키는 가장 작은 자연수 \(k\)가 순환 마디의 길이가 된다
  • \(n\)이 소수라면, \(1/n\)

 

 

순환마디를 얻는 과정의 이해

\(\frac{1}{7}=0.142857142857\cdots\) 를 얻는 나누기 과정을 살펴보자.


 

여러분이 지금부터 주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다.  1,3,2,6,4,5, 그리고 1  

이다. 빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 됨을 관찰할 수 있다. 따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다.

 

빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5,1가 어떻게 해서 얻어진 것인지를 한번 따져보자. 나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견하게 된다.

\(10^0 \equiv 1 \pmod 7\)

\(10^1 \equiv 10 \equiv 3 \pmod 7\)

\(10^2 \equiv 30 \equiv 2 \pmod 7\)

\(10^3 \equiv 20 \equiv 6 \pmod 7\)
\(10^4 \equiv 60 \equiv 4 \pmod 7\)
\(10^5 \equiv 40 \equiv 5 \pmod 7\)
\(10^6 \equiv 50 \equiv 1 \pmod 7\)

 

1,3,2,6,4,5,1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지임을 알 수 있다.

 

 

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