"분수와 순환소수"의 두 판 사이의 차이

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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/decimal_fraction
 
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/?q=primitive+root http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=primitive+root]
 
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** Hans Rademacher
 
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** Chapter 5. Decimal Fractions ([[1979584/attachments/1370998|pdf]])
 
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<h5>관련논문</h5>
 
<h5>관련논문</h5>
  
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* Remainder Wheels and Group Theory C<em>ollege Mathematics Journal,</em> vol. 39, no. 2, March 2008, pp. 129-135
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*  Lawrence Brenton , [http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3329&bodyId=3682 Remainder Wheels and Group Theory] College Mathematics Journal, vol. 39, no. 2, March 2008, pp. 129-135
 
* [http://www.jstor.org/stable/3026586 The Alluring Lore of Cyclic Numbers]<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/3026586 The Alluring Lore of Cyclic Numbers]<br>
 
** Michael W. Ecker, <cite>The Two-Year College Mathematics Journal</cite>, Vol. 14, No. 2 (Mar., 1983), pp. 105-109
 
** Michael W. Ecker, <cite>The Two-Year College Mathematics Journal</cite>, Vol. 14, No. 2 (Mar., 1983), pp. 105-109

2012년 8월 25일 (토) 14:25 판

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개요
  • 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다
  • 초등정수론에 대해 공부할 수 있는 소재가 풍부한 좋은 수학 문제
    • 순환마디의 길이는 어떻게 결정되는가의 문제 등
  • 수학자 가우스가 소년 시절에 이에 대하여 연구하였다
  • 1/n 의 순환소수 전개 목록을 함께 참고

 

 

142857의 여러가지 성질
  • 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571
    142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
  • 142857 X 7 = 999999
  • 142 + 857 = 999
  • 14 + 28 + 57 = 99
  • 이 성질은 다음 순환소수 전개를 통하여 이해할 수 있다
    \(1/7=0.142857142857\cdots\)
  • 142857의 성질과 해설

 

 

순환마디의 길이
  • \(1/n\)의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
  • n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자
  • \(10^k \equiv 1 \pmod n\) 를 만족시키는 가장 작은 자연수 \(k\)가 순환 마디의 길이가 된다
  • 군론의 언어를 사용하면 원소 10의 군  \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 에서의 order가 바로  \(1/n\)의 순환마디의 길이가 됨
  • 오일러의 totient 함수 의 순환마디의 길이는 \(\varphi(n)\) 를 나누게 된다
  • 군 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 정의에 대해서는 합동식과 군론 참조

 

 

순환마디를 얻는 과정의 이해
  • \(1/7=0.142857142857\cdots\)를 얻는 나누기 과정


  • 주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다. 

    1,3,2,6,4,5, 그리고 1
  • 빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 됨을 관찰할 수 있음
  • 따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다.
  • 빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5, 1 가 얻어진 과정의 관찰
  • 나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견

\(10^0 \equiv 1 \pmod 7\)

\(10^1 \equiv 10 \equiv 3 \pmod 7\)

\(10^2 \equiv 30 \equiv 2 \pmod 7\)

\(10^3 \equiv 20 \equiv 6 \pmod 7\)

\(10^4 \equiv 60 \equiv 4 \pmod 7\)

\(10^5 \equiv 40 \equiv 5 \pmod 7\)

\(10^6 \equiv 50 \equiv 1 \pmod 7\)

  • 1,3,2,6,4,5, 1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지이다

 

 

cyclic numbers

 

 

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관련도서 및 추천도서
  • Higher mathematics from elementary point of view
    • Hans Rademacher
    • Chapter 5. Decimal Fractions (pdf)

 

 

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