양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

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• 양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

 

 

개요

• 다이로그 함수(dilogarithm) 의 q-analogue
  \(\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\)
  
• q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus) 에서 오일러의 공식
  \(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
  

 

 

바일 대수(Weyl algebra)

• \(\mathbb{C}[q,q^{-1}]\) 위에서 u,v 로 생성되는 대수, \(uv=qvu\) 를 만족시킴
  
  • q-이항계수 (가우스 다항식) 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨
    
• 성질
  \((u;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}=(u+v;q)_{\infty}\)
  \((v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u+v-vu;q)_{\infty}\)
  \((v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}\)
  
• 양자 5항 관계식 (5-term relation)
  \((v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}\)
  

 

 

 

q-integral (Jackson integral)

• q-적분 참조

• \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의
  \(\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
  \(\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
  
• \(q\to 1\) 이면, \(\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \)
  

 

 

양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

\(\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t \)

\(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \)

\(\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\)

 

 

\(q\to 1\) 일 때의 근사식

\(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때,
\(\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\approx(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\)

 

 

q가 root of unity 일 때의 근사식

• [BR1995] section 3
  

 

 

재미있는 사실

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

• Notes on Construction of the Knot Invariant from Quantum Dilogarithm Function
• http://ncatlab.org/nlab/show/quantum+dilogarithm
• http://www.birs.ca/events/2010/5-day-workshops/10w5069/videos/watch/201009161744-Keller.mp4

 

 

관련된 항목들

• q-적분
• q-감마함수
• q-이항정리
• q-초기하급수의 근사식

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_dilogarithm
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

 

 

관련논문

• Quantum dilogarithm, Wadim Zudilin, Preprint, Bonn and Moscow (2006)
• The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm R. M. Kashaev, 1996
• Some Asymptotic Formulae for q-Shifted Factorials, http://dx.doi.org/10.1023/A:1006949508631
• [BR1995]Bazhanov, V V,  and N Yu Reshetikhin. 1995. “Remarks on the quantum dilogarithm”. Journal of Physics A: Mathematical and General 28 (8) (4월): 2217-2226. doi:10.1088/0305-4470/28/8/014. MR1338071(96k:81087)
• A link invariant from quantum dilogarithm Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418

• Quantum Dilogarithm as a 6j-Symbol R. M. Kashaev, MPLA Volume: 9, Issue: 40(1994) pp. 3757-3768
  
• Quantum Dilogarithm L.D.Fadeev and R.M.Kashaev, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 MR1264393(95i:11150)
  

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/10.1023/A:1006949508631