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2012년 11월 2일 (금) 07:29 판

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원분체의 데데킨트 제타함수

개요

\(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)에 대한 데데킨트 제타함수
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
디리클레 L-함수 의 곱으로 분해할 수 있다
디리클레 캐릭터 의 conductor 개념이 중요

데데킨트 제타함수의 분해

\(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)
modulo n 인 디리클레 캐릭터 들의 집합 \(\hat{G}\)을 생각하자
각 디리클레 캐릭터\(\chi\in \hat{G}\) 는 적당한 conductor \(f|n\) 을 갖는 원시(primitive) 디리클레 character \(\chi_{f}\)로부터 얻어진다.

(정리)

\(\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(\chi_{f},s)\)

(따름정리)

등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리

예

\(K = \mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)의 경우 \(d_K=-3\)
- \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times =\{1,2\}\)
- \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)
  \(\chi(a)=\left(\frac{a}{3}\right)\)
- \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
- \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 3
- 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음
  \(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\)

\(K = \mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)의 경우 \(d_K=-4\)
- \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times =\{1,3\}\)
- \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)
  \(\chi(a)=\left(\frac{-4}{a}\right)=\left(\frac{-1}{a}\right)\)
- \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
- \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 4
- 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음
  \(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\)

역사

메모

http://www.springerlink.com/content/q8m1181vwp429788/fulltext.pdf section 10.5.4
Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

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