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* 네 제곱수의 합으로 표현하는 방법의 수에 대한 생성함수로서 세타함수를 사용<br> | * 네 제곱수의 합으로 표현하는 방법의 수에 대한 생성함수로서 세타함수를 사용<br> | ||
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* <math>r_4(1)=8</math><br><math>(\pm1)^2+0^2+0^2+0^2=1</math>이므로 <br><math>2\times {4\choose 1}=8</math><br> | * <math>r_4(1)=8</math><br><math>(\pm1)^2+0^2+0^2+0^2=1</math>이므로 <br><math>2\times {4\choose 1}=8</math><br> | ||
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아래에서 <math>q=e^{2\pi i \tau}</math>, <math>x=e^{\pi i \tau}</math> 이다. | 아래에서 <math>q=e^{2\pi i \tau}</math>, <math>x=e^{\pi i \tau}</math> 이다. | ||
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<math>\theta^4(q)=(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)q^n</math> | <math>\theta^4(q)=(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)q^n</math> | ||
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2012년 11월 1일 (목) 13:26 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 라그랑지의 네 제곱수 정리는 모든 자연수는 네 개의 제곱수의 합으로 표현가능함을 말해준다
- 자코비는 세타함수 를 이용하여 주어진 자연수가 네 개의 제곱수의 합으로 얼마나 많은 방법으로 표현가능한지의 문제를 해결
세타함수
- 네 제곱수의 합으로 표현하는 방법의 수에 대한 생성함수로서 세타함수를 사용
- 자코비 세타함수
\(\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\), \(q=e^{2\pi i \tau}\)
\(x=e^{\pi i \tau}\) 로 두면,
\(\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}\) - 세타함수의 네 제곱을 취하면 자연수를 네 제곱으로 표현하는 방법에 대한 생성함수를 얻는다
\(\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\)
여기서 \(r_4(n)\) 는 \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n\)의 정수해 \((x_1,x_2,x_3,x_4)\)의 개수, 즉 자연수 \(n\)을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수
정리
(정리) 자코비의 네제곱수 정리
\(r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m\)
예
- \(r_4(1)=8\)
\((\pm1)^2+0^2+0^2+0^2=1\)이므로
\(2\times {4\choose 1}=8\) - \(r_4(2)=24\)
\((\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2+0^2=2\)
... 으로부터
\(4\times {4\choose 2}=24\) - \(r_4(3)=32\)
\((\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2=3\)
... 으로부터
\(8\times {4\choose 1}=32\)
- \(r_4(4)=24\)
\((\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2=(\pm2)^2+0^2+0^2+0^2=4\)
... 으로부터
\(16+2 \times {4\choose 1}=24\)
모듈라 형식을 이용한 증명
아래에서 \(q=e^{2\pi i \tau}\), \(x=e^{\pi i \tau}\) 이다.
\(\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\) 이라 두자.
세타함수의 데데킨트 에타함수 표현을 이용하자. (자코비 세타함수의 해당부분 참조)
\(\theta(\tau)=\frac{\eta(\tau)^5}{\eta(2\tau)^2\eta(\frac{\tau}{2})^2}\)
\(\theta^4(\tau)=\frac{\eta(\tau)^{20}}{\eta(2\tau)^{8}\eta(\frac{\tau}{2})^{8}}\)
\(\theta^4(\tau)\)는 군 \(\Gamma(2)\)에 대한 weight 2인 모듈라 형식(modular forms)이다.
한편 \(\frac{\eta(2\tau)^8}{\eta(\frac{\tau}{2})^8}\)는 \(\Gamma(2)\)에 대한 모듈라 함수이다.
적당한 상수 \(c\)에 대하여 다음 등식이 성립한다.
\(\frac{d}{d\tau}\log \frac{\eta(2\tau)}{\eta(\frac{\tau}{2})}=c\frac{\eta(\tau)^{20}}{\eta(2\tau)^{8}\eta(\frac{\tau}{2})^{8}}=c\theta^4(\tau)\)
이제
\(\frac{\eta(2\tau)^8}{\eta(\frac{\tau}{2})^8}=x\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x^{4n})^8}{(1-x^{n})^8}\)에 미분연산자 \(x\frac{d}{dx}\log\)(즉 로그를 취한뒤, 미분 후, x 곱하기) 을 취하면,
\(1+8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{1-x^n}-8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4nx^{4n}}{1-x^{4n}}=1+8\sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{d|n,4\nmid d}d)q^n\)를 얻는다.
따라서 \(r_4(n)=\sum_{d|n,4\nmid d}d\)■
타원함수론을 이용한 증명
\(\theta^4(q)=(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)q^n\)
\(A(q)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mq^m}{1-q^m}=\sum_{m=1}^{\infty}{mq^m}(1+q^m+q^{2m}+\cdots)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)q^n\)
여기서 \(\sigma(n)\) 에 대해서는 자연수의 약수의 합 항목 참조.
\(B(q)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(1+(-1)^m)}{2}\cdot \frac{2mq^{2m}}{1-q^{2m}}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(1+(-1)^m)}{2}\cdot{2mq^{2m}}(1+q^{2m}+q^{4m}+\cdots)=\sum_{m=1,n=1}^{\infty}m(1+(-1)^m){q^{2mn}}= \sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{d|n,4|d}d)q^n\)
\(\theta^4(q)=1+8A(q)-8B(q)\) 를 증명하면 된다.
재미있는 사실
역사
메모
자코비 세타함수의 삼중곱 정리로부터, 다음을 얻는다.
\(\theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{2m}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right)\)
여기서 \(x=e^{\pi i \tau}\).
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
-
- A Simple Derivation of Jacobi's Four-Square Formula
- John A. Ewell, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 85, No. 3 (Jul., 1982), pp. 323-326
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=jacobi
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://dx.doi.org/
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
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관련기사
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