"정수에서의 리만제타함수의 값"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
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<h5>개요</h5>
  
 
*  홀수인 자연수를 제외한 모든 정수에 대하여 리만제타함수의 값은 닫힌 형태로 알려져 있음.<br><math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>여기서 <math>B_{2n}</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]]. <br><math>\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}, n \ge 1</math> 또는<math>\zeta(1-2n)=-\frac{B_{2n}}{2n}, n \ge 1</math><br><math>\zeta(0)=-\frac{1}{2}</math><br>
 
*  홀수인 자연수를 제외한 모든 정수에 대하여 리만제타함수의 값은 닫힌 형태로 알려져 있음.<br><math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>여기서 <math>B_{2n}</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]]. <br><math>\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}, n \ge 1</math> 또는<math>\zeta(1-2n)=-\frac{B_{2n}}{2n}, n \ge 1</math><br><math>\zeta(0)=-\frac{1}{2}</math><br>
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** [[모든 자연수의 곱과 리만제타함수]]<br>
 
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** [[모든 자연수의 합과 리만제타함수]]<br>
 
** [[모든 자연수의 합과 리만제타함수]]<br>
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** [[소수와 리만제타함수]]<br>
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** [[소수와 리만제타함수]]
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** [[3792297|슈테판-볼츠만 법칙과 리만제타함수의 값]]<br>
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** [[ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙]]
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** [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]<br>
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** [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
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** [[정수에서의 리만제타함수의 값]]<br>
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** [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|]][[정수에서의 리만제타함수의 값]]
  
 
 
 
 

2010년 6월 9일 (수) 05:05 판

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개요
  • 홀수인 자연수를 제외한 모든 정수에 대하여 리만제타함수의 값은 닫힌 형태로 알려져 있음.
    \(\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\)여기서 \(B_{2n}\)은 베르누이수. 
    \(\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}, n \ge 1\) 또는\(\zeta(1-2n)=-\frac{B_{2n}}{2n}, n \ge 1\)
    \(\zeta(0)=-\frac{1}{2}\)
  • 참고로 베르누이 수의 처음 몇개는 다음과 같음

\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\)

 

 

컨투어 적분을 이용한 증명

\(\zeta(4)\) 를 구하는 방법을 통해서 일반적인 경우의 증명도 알 수 있다. \(\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz\)

\(C_{R}\)는 원점을 중심으로 반지금이\(R\) 인 원

이때 \(R\)이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자. 

0이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(z\approx k\) 이면,  \(\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}\)

한편\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}\)의 0이 아닌 정수 \(k\)에서의 유수(residue)는  \(\frac{1}{k^{4}}\)로 주어진다. 

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)(코탄젠트 참조)

를 이용하면 0 에서의 유수는 \(-\pi^{4}/45\) 임을 알 수 있다.

 

그러므로 모든 유수의 합은 \(-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0\)따라서 \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\)

일반적인 자연수 \(n\) 에 대하여도 마찬가지 방법으로

\(2\zeta(2n)+\frac{(-1)^n 2^{2n}B_{2n}\pi^{2n}}{(2n)!}=0\)

 \(\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\)

을 얻는다.

 

 

 

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