정수에서의 리만제타함수의 값

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• 정수에서의 리만제타함수의 값

 

 

개요

• 홀수인 자연수를 제외한 모든 정수에 대하여 리만제타함수의 값은 닫힌 형태로 알려져 있음.
  \(\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\)여기서 \(B_{2n}\)은 베르누이수. 
  \(\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}, n \ge 1\) 또는\(\zeta(1-2n)=-\frac{B_{2n}}{2n}, n \ge 1\)
  \(\zeta(0)=-\frac{1}{2}\)
  
• 참고로 베르누이 수의 처음 몇개는 다음과 같음
  

\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\)

 

 

컨투어 적분을 이용한 증명

\(\zeta(4)\) 를 구하는 방법을 통해서 일반적인 경우의 증명도 알 수 있다. \(\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz\)

\(C_{R}\)는 원점을 중심으로 반지금이\(R\) 인 원

이때 \(R\)이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자. 

0이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(z\approx k\) 이면,  \(\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}\)

한편\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}\)의 0이 아닌 정수 \(k\)에서의 유수(residue)는  \(\frac{1}{k^{4}}\)로 주어진다. 

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)(코탄젠트 참조)

를 이용하면 0 에서의 유수는 \(-\pi^{4}/45\) 임을 알 수 있다.

 

그러므로 모든 유수의 합은 \(-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0\)따라서 \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\)

일반적인 자연수 \(n\) 에 대하여도 마찬가지 방법으로

\(2\zeta(2n)+\frac{(-1)^n 2^{2n}B_{2n}\pi^{2n}}{(2n)!}=0\)

 \(\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\)

을 얻는다.

 

 

맥클로린급수

• 로그감마 함수의 맥클로린 급수는 다음으로 주어진다
  \(\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k\)
  
• 코탄젠트 

 

 

상위 주제

• 리만제타함수
  
  • 두자연수가 서로소일 확률과 리만제타함수
    
  • 리만가설
    
  • 모든 자연수의 곱과 리만제타함수
    
  • 모든 자연수의 합과 리만제타함수
    
  • 소수와 리만제타함수
  • ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
  • ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙
  • [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|]]정수에서의 리만제타함수의 값

 

 

 

 

역사

• 수학사연표
  

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
  
• 모든 자연수의 곱과 리만제타함수
  
• 모든 자연수의 합과 리만제타함수
  
• 베르누이 수와 베르누이 다항식
  

 

관련도서 및 추천도서

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참고할만한 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=residue
  • 대한수학회 수학용어한글화 게시판
• 네이버 오늘의과학

 

관련기사

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