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*  조화수열의 정의<br><math>H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}</math><br>
 
*  조화수열의 정의<br><math>H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}</math><br>
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* [[오일러상수, 감마]][[오일러상수, 감마|]]<math>\lim_{n\to\infty}H_{n}-\ln n=\gamma</math><br>
  
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2012년 1월 19일 (목) 09:32 판

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개요
  • 조화수열의 정의
    \(H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\)
  • 오일러상수, 감마[[오일러상수, 감마|]]\(\lim_{n\to\infty}H_{n}-\ln n=\gamma\)

\(\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots\)

 

 

근사 공식

 

 

 

 

성질

\(H_{n-1}=H_n-\frac{1}{n}\)

\(H_{n-1}^2=(H_n-\frac{1}{n})^2=H_n^2+\frac{1}{n^2}-\frac{2H_n}{n}\)

 

 

생성함수

\(\sum_{n=1}^\infty H_nz^n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z}\)

 

 

생성함수의 응용

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}z^{n+1} =\frac{1}{2}\log^2(1-z)\)

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}z^n =\operatorname{Li}_2(z)+\frac{1}{2}\log^2(1-z)\)

 

\(z=e^{it}\), \(0 \leq t \leq \pi\) 에서 

위 식의 실수부를 취하면, 각각 다음 식을 얻는다.

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}\sin (n+1)t=\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})\)

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}\sin nt=\operatorname{Cl}_2(t)+\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})\)

로바체프스키와 클라우센 함수

 

 

 

 

조화수열과 급수

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{(n+1)^2}=\frac{11\pi^4}{360}\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{n^2}=\frac{17\pi^4}{360}\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^3}=\frac{\pi^4}{72}\)

 

 

역사

 

 

 

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