"체론(field theory)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
9번째 줄: 9번째 줄:
 
*  사칙연산을 할 수 있는 대수적 구조<br>
 
*  사칙연산을 할 수 있는 대수적 구조<br>
 
*  실수, 복소수, 유한체, [[p진해석학(p-adic analysis)|p-adic]] 체, function field 등<br>
 
*  실수, 복소수, 유한체, [[p진해석학(p-adic analysis)|p-adic]] 체, function field 등<br>
 +
 +
 
  
 
 
 
 
16번째 줄: 18번째 줄:
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">체(field)의 정의</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">체(field)의 정의</h5>
  
−
*  체 <math><\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1></math> <br>
+
*  체 <math><\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1></math><br>
−
*  집합 F와 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어, 다음과 같은 조건을 만족시킴<br><math>(\mathbb{F}, +)</math>는 아벨군이며 0은 항등원이다. 즉 덧셈에 대한 아벨군을 이룬다.<br><math>(\mathbb{F}^{*}, \cdot)</math>는 아벨군이며 1은 항등원이다. 여기서 <math>\mathbb{F}^{*}</math>은 0을 제외한 원소들의 집합.<br> 더하기와 곱하기는 분배법칙을 만족시킨다. 즉, 모든 원소 <math>a,b,c\in \mathbb{F}</math>에 대하여<br>  <br>
+
*  집합 F와 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어, 다음과 같은 조건을 만족시킴<br><math>(\mathbb{F}, +)</math>는 아벨군이며 0은 항등원이다. 즉 덧셈에 대한 아벨군을 이룬다.<br><math>(\mathbb{F}^{*}, \cdot)</math>는 아벨군이며 1은 항등원이다. 여기서 <math>\mathbb{F}^{*}</math>은 0을 제외한 원소들의 집합.<br> 더하기와 곱하기는 분배법칙을 만족시킨다. 즉, 모든 원소 <math>a,b,c\in \mathbb{F}</math>에 대하여 <math>a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)</math> 이 성립한다.<br>
−
 
 
−
 
 
  
 
 
 
 
36번째 줄: 36번째 줄:
  
 
*  기본체 <math>F=R_0</math><br>
 
*  기본체 <math>F=R_0</math><br>
 +
*   <br>
 +
 +
 
 +
 
*  적당한 원소 <math>a_0 \in R_0</math>와 자연수 <math>n_0</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_0]a</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)</math><br>
 
*  적당한 원소 <math>a_0 \in R_0</math>와 자연수 <math>n_0</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_0]a</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)</math><br>
 
*  적당한 원소 <math>a_1\in R_1</math>와 자연수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)</math><br>
 
*  적당한 원소 <math>a_1\in R_1</math>와 자연수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)</math><br>
82번째 줄: 86번째 줄:
 
* [[5차방정식과 근의 공식]]<br>
 
* [[5차방정식과 근의 공식]]<br>
 
* [[#]]<br>
 
* [[#]]<br>
−
* [[p진해석학(p-adic analysis)|p-adic analysis]]<br>
+
* [[해밀턴의 사원수(quarternions)|해밀턴의 사원수]]<br>
 +
* [[p진해석학(p-adic analysis)]]<br>
  
 
 
 
 

2010년 2월 2일 (화) 17:54 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 사칙연산을 할 수 있는 대수적 구조
  • 실수, 복소수, 유한체, p-adic 체, function field 등

 

 

 

체(field)의 정의
  • 체 \(<\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1>\)
  • 집합 F와 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어, 다음과 같은 조건을 만족시킴
    \((\mathbb{F}, +)\)는 아벨군이며 0은 항등원이다. 즉 덧셈에 대한 아벨군을 이룬다.
    \((\mathbb{F}^{*}, \cdot)\)는 아벨군이며 1은 항등원이다. 여기서 \(\mathbb{F}^{*}\)은 0을 제외한 원소들의 집합.
    더하기와 곱하기는 분배법칙을 만족시킨다. 즉, 모든 원소 \(a,b,c\in \mathbb{F}\)에 대하여 \(a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)\) 이 성립한다.

 

 

체확장

 

 

 

거듭제곱근 체확장(radical extension)
  • 기본체 \(F=R_0\)
  •  

 

  • 적당한 원소 \(a_0 \in R_0\)와 자연수 \(n_0\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
  • 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 자연수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
  • 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 한다
  • 정다각형의 작도, 5차방정식과 근의 공식 에서 중요하게 사용되는 개념이다

 

 

 

다항식과 갈루아체확장
  • (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에서 정의된 다항식 \(x^3-2=0\)
  • 해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
  • 이 때, 체 \(K\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

 

관련논문

 

 

관련도서

 

 

 

블로그
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=체론(field_theory)&oldid=18879"