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* 주어진 체에서 시작하여 거듭제곱근들을 넣어 만들 수 있는 체확장의 종류<br> | * 주어진 체에서 시작하여 거듭제곱근들을 넣어 만들 수 있는 체확장의 종류<br> | ||
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| − | + | ==다항식과 갈루아체확장== | |
* (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음<br> | * (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음<br> | ||
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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| − | + | ==관련도서== | |
* [http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0817646841/ebooksclub-20/ A History of Abstract Algebra]<br> | * [http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0817646841/ebooksclub-20/ A History of Abstract Algebra]<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 13:26 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 사칙연산을 할 수 있는 대수적 구조
- 유리수, 실수, 복소수, 유한체, p-adic 체, function field 등
- 5차방정식과 근의 공식을 이해하기 위한 기본적인 개념틀
체(field)의 정의
- 체 \(<\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1>\)
- 집합 F와 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어, 다음과 같은 조건을 만족시킴
\((\mathbb{F}, +)\)는 아벨군이며 0은 항등원이다. 즉 덧셈에 대한 아벨군을 이룬다.
\((\mathbb{F}^{*}, \cdot)\)는 아벨군이며 1은 항등원이다. 여기서 \(\mathbb{F}^{*}\)은 0을 제외한 원소들의 집합.
더하기와 곱하기는 분배법칙을 만족시킨다. 즉, 모든 원소 \(a,b,c\in \mathbb{F}\)에 대하여 \(a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)\) 이 성립한다.
체확장
- 체 K가 체 F를 포함할 때, 즉 \(F\subset K\)일때, K를 F의 체확장이라 한다
순환체확장(cyclic extension)
거듭제곱근 체확장(radical extension)
- 주어진 체에서 시작하여 거듭제곱근들을 넣어 만들 수 있는 체확장의 종류
- 정다각형의 작도, 5차방정식과 근의 공식 에서 중요하게 사용되는 개념이다
- 거듭제곱근 체확장(radical extension) 항목에서 자세히 다룸
다항식과 갈루아체확장
- (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
- 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에서 정의된 다항식 \(x^3-2=0\)
- 해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
- 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
- 이 때, 체 \(K\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/체
- http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Field_extension
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Field Theory: From Equations to Axiomatization, Part I
- Israel Kleiner, The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 7 (Aug. - Sep., 1999), pp. 677-684
- Field Theory: From Equations to Axiomatization, Part II
- Israel Kleiner, The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 9 (Nov., 1999), pp. 859-863
관련도서
- A History of Abstract Algebra
- Israel Kleiner
- Israel Kleiner
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