페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리

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• 페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리

 

 

개요

• 두 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+y^2\) 형태로 표현될 수 있는 소수 \(p\)에 대한 문제
• \(p=2\) 또는 \(p \equiv 1 \pmod 4\) 이면 모두 적당한 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+y^2\) 형태로 표현가능
• 소수 \(p=2\) 또는 \(p \equiv 1 \pmod 4\) 의 곱으로 표현되는 자연수는 \(x^2+y^2\) 형태로 표현가능

 

 

자연수를 제곱의 합으로 표현하는 방법의 수

• 디오판투스 방정식 \(x^2+y^2=n\)의 해의 개수 \(r_2(n)\)
  \(r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)\)
  여기서 \(n\)이 홀수이면 \(\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\),  \(n\)이 짝수이면 \(\chi(n)=0\).
  
• 이차수체에 대한 데데킨트 제타함수의 분해로부터 얻어지는 결과

 

 

 

두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 정수

• 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 121, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 144, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 162, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 196, 197, 200, 202, 205, 208, 212, 218, 221, 225, 226, 229, 232, 233, 234, 241, 242, 244, 245, 250, 256, 257, 260, 261, 265, 269, 272, 274, 277, 281, 288, 289, 290, 292, 293, 296, 298, 305, 306, 313, 314, 317, 320, 324, 325, 328, 333, 337, 338, 340, 346, 349, 353, 356, 360, 361, 362, 365, 369, 370, 373, 377, 386, 388, 389, 392, 394, 397, 400

 

 

400이하의 소수

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397

 

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\(x^2+y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397

 

4 로 나눈 나머지가 1인 소수

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397

 

 

그런데 사실 이야기가 여기서 끝나는 것이 아니다.

 

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\(x^2+2y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

2, 3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313, 331, 337, 347, 353, 379

 

8로 나눈 나머지가 1이나 3인 소수

3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313,331, 337, 347, 353, 379

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\(x^2+3y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397

 

12로 나눈 나머지가 1이나 7인 소수

7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397

---

\(x^2+4y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

 

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397

 

16으로 나눈 나머지가 1,5, 9,16 인 소수 (즉 4로 나눈나머지가 1인 소수)

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397

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역사

• 수학사연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
• 복소수
•  

 

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• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation

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사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares
• http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat's_theorem_on_sums_of_two_squares
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• A One-Sentence Proof That Every Prime $p\equiv 1(\mod 4)$ Is a Sum of Two Squares
  
  • D. Zagier, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), p. 144
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/

 

 

 

 

 

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