펠 방정식(Pell's equation)

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• 펠 방정식

 

 

개요

• \(x^2-dy^2=1\) (\(d\) 는 완전제곱수를 약수로 갖지 않는 1보다 큰 자연수)형태의 디오판투스 방정식
• 연분수 전개를 통하여 모든 해를 구할 수 있음
• 해의 집합은 군의 구조를 통하여 이해할 수 있음
• \(x^2-dy^2=\pm 1\) 의 자연수 해를 구하는 문제는 실수 이차 수체의 unit 을 구하는 문제와 같음

 

 

연분수 전개와 fundamental solution

• \(\sqrt{d}\) 를 연분수 전개할때 얻어지는 convergents \({h_i}/{k_i}\) 가 펠방정식의 해가 되는 \(x=h_i, y=k_i\) 를 찾을 수 있으며, 이 때  \(x\)값을 가장 작게 하는 해를 fundamental solution 이라 한다.

(정리)

펠방정식의 해는 연분수 전개의 convergents 중에서 찾을 수 있다.

(증명)

연분수와 유리수 근사 에서 펠 방정식에 관련한 중요한 정리는 다음과 같다

무리수 \(\alpha\)에 대하여, 유리수 \(p/q\)가 아래의 부등식을 만족시키는 경우,  \(p/q\)는 무리수 \(\alpha\)의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다

\(|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{2{q^2}}\)

이 정리를 이용하자.

펠방정식의 정수해 \(x_{1}^2-dy_{1}^2=1\) 는  \(x_{1}^2-dy_{1}^2=(x_{1}+\sqrt{d}y_{1})(x_{1}-\sqrt{d}y_{1})=1\)를 만족시키므로,

\(|x_{1}-\sqrt{d}y_{1}|=\frac{1}{|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}|}\)

\(|\sqrt{d}-\frac{x_{1}}{y_{1}}|=\frac{1}{|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}||y_{1}|}<\frac{1}{\sqrt{d}y_{1}^{2}}\leq \frac{1}{2y_{1}^{2}}\)

따라서,  펠방정식의 해는 연분수 전개의 convergents 중에서 찾을 수 있다. ■

 

 

d=7인 경우

• \(\sqrt{7}\)의 연분수 전개를 통한 유리수근사
  \(\frac{2}{1},\frac{3}{1},\frac{5}{2},\frac{8}{3},\frac{37}{14}\cdots\)
  
• 펠방정식의 해 찾기
  \(2^2-d\cdot 1^2=-3\)
  \(3^2-d\cdot 1^2=2\)
  \(5^2-d\cdot 2^2=-3\)
  \(8^2-d\cdot 3^2=1\)
  \(37^2-d\cdot 14^2=-3\)
  
• 따라서 펠방정식 \(x^2-7y^2=1\)의 fundamental solution 은 \((8,3)\) 이된다

 

 

d=13

• fundamental soltion \((x_1,y_1)\) 가 \(y_1>6\) 를 만족시키는 가장 작은 d
• \(649^2-13\cdot180^2=1\)

 

 

 

 

d=109

• 페르마의 문제
  
• \(158070671986249^2 -109\cdot15140424455100^2=1\)
  

 

 

재미있는 사실

 

• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
• 체비셰프 다항식

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/펠방정식
• http://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• Conics - a Poor Man's Elliptic CurvesFranz Lemmermeyer, arXiv:math/0311306v1
  
• Solving the Pell EquationH. W. Lenstra Jr. Notices of the AMS 49 (2002), 182–92
• Lehmer, D. H. 1928. On the Multiple Solutions of the Pell Equation. The Annals of Mathematics 30, no. 1/4. Second Series (January 1): 66-72. doi:10.2307/1968268. 
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=Pell's+equation
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

 

 

관련도서 및 추천도서

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