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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
 
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* <math>p,q</math>가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 <math>(\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})</math> 이고, 반지름이 <math>\frac{1}{2q^2}</math>인 원을 포드 원이라 함<br>
 
* <math>p,q</math>가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 <math>(\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})</math> 이고, 반지름이 <math>\frac{1}{2q^2}</math>인 원을 포드 원이라 함<br>
 
** <math>y=0</math>에 접함
 
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* 서로 접하는 세 원의 중심의 <math>x</math> 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) Farey Series 를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가?
 
* 서로 접하는 세 원의 중심의 <math>x</math> 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) Farey Series 를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가?
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위 그림에서, 점 <math>A</math> 에서 선분 <math>\overline{BG}</math> 위에 내린 발을 <math>C</math> 라 하자. 그러면 삼각형 <math>\triangle ACB</math> 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,
 
위 그림에서, 점 <math>A</math> 에서 선분 <math>\overline{BG}</math> 위에 내린 발을 <math>C</math> 라 하자. 그러면 삼각형 <math>\triangle ACB</math> 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,
  
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<math>\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2</math> 이다. 포드 원의 정의에서 <math>A(\frac{q}{p}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{Q}{P}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{Q}{P},\frac{1}{2q^2} )</math> 이므로, 각 변의 길이를 구해서 정리하면 <math>\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}</math> 를 얻는다. 여기서,
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<math>\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2</math> 이다. 포드 원의 정의에서 <math>A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )</math> 이므로, 각 변의 길이를 구해서 정리하면 <math>\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}</math> 를 얻는다. 여기서,
  
 
i.  <math>|Pq -pQ|> 1</math> 이면, <math>\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.
 
i.  <math>|Pq -pQ|> 1</math> 이면, <math>\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.
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* [[패리 수열(Farey series)|Farey series]]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circles
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* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli|The modular group, j-invariant and the singular moduli]]<br>
 
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** [[모듈라 군(modular group)|modular group]]
 
  
 
 
 
 
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions]<br>
 
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** L. R. Ford, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601
 
 
* [[3210238/attachments/1980825|Ford_Circle.pdf]]<br>
 
* [[3210238/attachments/1980825|Ford_Circle.pdf]]<br>
 
** 애기똥풀
 
** 애기똥풀
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circles
 
 
* [http://navercast.naver.com/science/math/1049 바보셈에서 페리수열]<br>
 
* [http://navercast.naver.com/science/math/1049 바보셈에서 페리수열]<br>
 
** 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일, 이광연
 
** 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일, 이광연
  
 
 
 
 
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<h5>관련논문</h5>
  
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<h5>블로그</h5>
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* [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions]<br>
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** L. R. Ford, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
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* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
 

2011년 10월 23일 (일) 17:44 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

[[Media:|]]

  • \(p,q\)가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 \((\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})\) 이고, 반지름이 \(\frac{1}{2q^2}\)인 원을 포드 원이라 함
    • \(y=0\)에 접함

 

[/pages/3210238/attachments/5216304 ford_circles.gif]

 

 

관찰

위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 \(x\) 좌표이다.)

 

  • \(p,q\)가 서로소인 자연수들이니까, 원 중심의 \(x\) 좌표들은 기약분수들이 되겠다.
  • 서로 겹치는 두 Ford circle 은 없는 듯 하다.
  • 접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
    • \(\frac35 , \frac23\)      \(\frac35 , \frac58\)      \(\frac58, \frac23\)      \(\frac58, \frac{7}{11}\)   ...
    • \(10-9 = 25-24 = 16 - 15 = 56 - 55 = \cdots = 1\)
  • 서로 접하는 세 포드 원 사이에는?
    • \(\frac35, \frac58 , \frac23\)      \(\frac35, \frac{8}{13} , \frac58\)      \(\frac58, \frac{7}{11} , \frac23\)      \(\frac47, \frac{7}{12} , \frac35\)
    • 뭔가 발견했는가?

이제 Farey series 를 읽고 다시 돌아오자. (오른쪽 클릭 - 새 탭 열기/새 창 열기)

  • 서로 접하는 세 원의 중심의 \(x\) 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) Farey Series 를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가?

 

 

관찰의 증명
  1. 서로 겹치는 두 포드 원은 없음.

Proof.

아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(q/p\) 인 원이고, 원 B 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(Q/P\) 인 원이다. (\(p,q, P, Q\) 는 자연수, \(gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1\))

[/pages/3210238/attachments/2009497 fig1.jpg]

 

위 그림에서, 점 \(A\) 에서 선분 \(\overline{BG}\) 위에 내린 발을 \(C\) 라 하자. 그러면 삼각형 \(\triangle ACB\) 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,

\(\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2\) 이다. 포드 원의 정의에서 \(A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )\) 이므로, 각 변의 길이를 구해서 정리하면 \(\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}\) 를 얻는다. 여기서,

i.  \(|Pq -pQ|> 1\) 이면, \(\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}\) 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.

ii.  \(|Pq -pQ|= 1\) 이면, \(\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}\) 이므로, 두 원은 접한다. (10-나 과정의 '두 원의 위치 관계' 참조)

iii. \(|Pq -pQ| <1\) 일 수는 없다.

왜냐 하면, \(p,q, P, Q\) 는 자연수이므로 결국 \(Pq -pQ = 0\) 이어야 하는데, \(p/q \ne P/Q\) 이기 때문이다.

위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다.

 

2. 접하는 두 포드 원 사이의 관계

\(x\) 좌표가 \(p/q\) 인 포드 원을 \(C[p/q]\) 라고 쓰자.

접하는 두 포드 원 \(C[b/a]\) 과 \(C[d/c]\) 가 있으면, \(|ad - bc| = 1\) 이다.

Proof.

관찰 1 의 증명 중 ii) 에서 거저 먹었다.

 

3. Farey Series 와의 관계

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

 

사전형태의 자료

 

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

관련논문
  • Fractions
    • L. R. Ford, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601
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