푸리에 급수

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• 푸리에 급수
  

 

 

개요

• 주어진 함수의 삼각함수를 이용한 급수표현
  
• 열방정식을 푸는 과정에서 푸리에가 발견
  

 

 

 

정의

• \(2\pi\)를 주기로 가지는 함수 \(f\)
  
• 푸리에 계수의 정의
  \(a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0\)
  \(b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1\)
  
• 푸리에 급수
  \(f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]\)
  

 

 

 

예1

• \(f(x)=x\), \(-\pi < x < \pi\)
  \(f(x)\sim2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)\)
  
• \(f(x)=\frac{\pi-x}{2}\),\(0 < x \leq \pi\)
  \(f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin n x\)
  
• \(f(x)=x^2\), \(-\pi < x < \pi\)
  \(f(x)\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)\)
  

 

 

 

예2

• 로바체프스키와 클라우센 함수
  \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때,\(Cl_2(\theta)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\sin n\theta\)
  

• 로그감마 함수
  \(\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}\sin 2\pi nx\)
  

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

메모

\(\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{inx}\, dx\)

\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{inx}\)

 

 

관련된 항목들

• 편미분방정식
  
• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
  

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

•  
  
• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=fourierseries+of+x
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=fourier+sine+series+of+x
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/