"푸앵카레의 추측"의 두 판 사이의 차이

2009년 12월 4일 (금) 19:37 판

단순연결된 컴팩트 3차원 다양체는 3차원 구와 위상적으로 같다

대수적위상수학 에서 가져옴
호모토피
- 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.
  - 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
- 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.

[/pages/1954084/attachments/888134 180px-Homotopy_between_two_paths.png]

fundamental group
- 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
- 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
- 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
- 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
- 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
- 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
단일연결된 공간(simply connected space)
- 모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
  - 구면은 단일연결되어있음.
  - 도넛은 단일연결되어있지 않음.

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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
-단순연결된 콤팩트
+단순연결된 컴팩트 3차원 다양체는 3차원 구와 위상적으로 같다
+<h5>단일</h5>
 * [[대수적위상수학]] 에서 가져옴
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 *** 구면은 단일연결되어있음.
 *** 도넛은 단일연결되어있지 않음.
-*   <br>
-** 포앵카레의 추측
+<h5>다양체(manifold)</h5>
+*  1차원 다양체 = 곡선<br>
+** 원, 직선, ...
+*  2차원 다양체 = 곡면<br>
+** 평면, 구면, 토러스,
+*  n-차원 다양체 : 곡선과 곡면의 n차원 일반화<br>
+** 국소적으로 n-차원 유클리드 공간과 같은 공간을 n