"푸앵카레의 추측"의 두 판 사이의 차이

2011년 2월 12일 (토) 09:51 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

푸앵카레의 추측

개요

푸앵카레의 추측
단일연결된 컴팩트 3차원 다양체는 3차원 구와 위상적으로 같다

단일연결된 공간

단일연결된 공간(simply connected space)
- 공간에 놓인 모든 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있는 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
2차원 구면은 단일연결되어있음.
도넛은 단일연결되어있지 않음.

2차원 구면의 단일연결성

구면에 놓인 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있음

[/pages/4603403/attachments/2617503 800px-P1S2all.jpg]

도넛의 단일연결성

도넛의 경우, 닫힌 곡선을 점으로 변화시킬 수 없는 경우가 존재하므로 단일연결되어 있지 않다

[/pages/4603403/attachments/2617511 180px-Torus_cycles.png]

다양체(manifold)

1차원 다양체 = 곡선
- 원, 직선, ...
2차원 다양체 = 곡면
- 평면, 구면, 도넛,
n-차원 다양체 : 곡선과 곡면의 n차원 일반화
- 국소적으로 n-차원 유클리드 공간과 같은 공간을 n-차원 다양체라 한다

위상적으로 같음

homeomorphic, homeomorphism
도넛과 커피잔의 관계처럼 연속적인 변화를 통해 두 위상적 공간을 같도록 만들 수 있다면, 위상적으로 같다고 말한다

수학용어번역

사전 형태의 자료

블로그

구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
네이버 오늘의과학
수학동아
Mathematical Moments from the AMS
BetterExplained

@@ 9번째 줄: / 9번째 줄: @@
 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
-*  푸앵카레의 추측<br> 단순연결된 컴팩트 3차원 다양체는 3차원 구와 위상적으로 같다<br>  <br>
+*  푸앵카레의 추측<br> 단일연결된 컴팩트 3차원 다양체는 3차원 구와 위상적으로 같다<br>
@@ 15번째 줄: / 15번째 줄: @@
-<h5>단순연결된 공간[[대수적위상수학|]]</h5>
+<h5>단일연결된 공간</h5>
-* 단순연결된 공간이 무엇인지 알기 위해서느
+*  단일연결된 공간(simply connected space)<br>
-*  호모토피<br>
+** 공간에 놓인 모든 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있는 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
-**  공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.<br>
+* 2차원 구면은 단일연결되어있음.
-*** 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
+* 도넛은 단일연결되어있지 않음.
-** 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.
+<h5>2차원 구면의 단일연결성</h5>
+* 구면에 놓인 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있음
+[/pages/4603403/attachments/2617503 800px-P1S2all.jpg]
-[/pages/1954084/attachments/888134 180px-Homotopy_between_two_paths.png]
-*  fundamental group<br>
-** 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
-** 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
+<h5>도넛의 단일연결성</h5>
-** 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
-** 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
+* 도넛의 경우, 닫힌 곡선을 점으로 변화시킬 수 없는 경우가 존재하므로 단일연결되어 있지 않다
-** 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
-** 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
+[/pages/4603403/attachments/2617511 180px-Torus_cycles.png]
-*  단일연결된 공간(simply connected space)<br>
-**  모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.<br>
-*** 구면은 단일연결되어있음.
-*** 도넛은 단일연결되어있지 않음.
@@ 44번째 줄: / 49번째 줄: @@
 ** 원, 직선, ...
 *  2차원 다양체 = 곡면<br>
-** 평면, 구면, 토러스,
+** 평면, 구면, 도넛,
 *  n-차원 다양체 : 곡선과 곡면의 n차원 일반화<br>
 ** 국소적으로 n-차원 유클리드 공간과 같은 공간을 n-차원 다양체라 한다
@@ 80번째 줄: / 85번째 줄: @@
 <h5>메모</h5>
+* http://www.doctoryau.com/papers/yau_poincare.pdf
@@ 100번째 줄: / 107번째 줄: @@
 * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
+** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=simply+connected
 * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
@@ 111번째 줄: / 118번째 줄: @@
 * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%91%B8%EC%95%B5%EC%B9%B4%EB%A0%88_%EC%B6%94%EC%B8%A1 http://ko.wikipedia.org/wiki/푸앵카레_추측]
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space
 * http://en.wikipedia.org/wiki/
 * http://www.wolframalpha.com/input/?i=

"푸앵카레의 추측"의 두 판 사이의 차이

2011년 2월 12일 (토) 09:51 판

목차

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

단일연결된 공간

2차원 구면의 단일연결성

도넛의 단일연결성

다양체(manifold)

위상적으로 같음

재미있는 사실

역사

메모

관련된 항목들

수학용어번역

사전 형태의 자료

관련논문

관련도서 및 추천도서

관련기사

블로그

둘러보기 메뉴

검색