"유리함수의 부정적분"의 두 판 사이의 차이
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Pythagoras0 (토론 | 기여) (새 문서: ==예== * 1/(1+x^2)의 적분 ==$\frac{1}{1+x^4}$의 부정적분== ==관련된 항목들== * 오일러 치환 * 바이어슈트라스 치환 * 삼각치환) |
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==$\frac{1}{1+x^4}$의 부정적분== | ==$\frac{1}{1+x^4}$의 부정적분== | ||
| − | + | * 부분분수로 분해하면 다음을 얻는다 $$\frac{1}{1+x^4}=-\frac{x-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)}+\frac{x+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)}$$ | |
| − | + | * 부분분수 분해에 등장하는 유리함수의 부정적분은 다음과 같다 | |
| − | + | $$\int \frac{x-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)} \, dx= \frac{\log \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)+2 \tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} x\right)}{4 \sqrt{2}} $$ | |
| + | $$\int \frac{x+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)} \, dx= \frac{\log \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)+2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{2} x+1\right)}{4 \sqrt{2}}$$ | ||
| + | * 따라서 $$\int \frac{1}{1+x^4} \, dx=\frac{-\log \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)+\log \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)-2 \tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} x\right)+2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{2} x+1\right)}{4 \sqrt{2}}$$ | ||
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2012년 11월 18일 (일) 08:15 판
예
$\frac{1}{1+x^4}$의 부정적분
- 부분분수로 분해하면 다음을 얻는다 $$\frac{1}{1+x^4}=-\frac{x-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)}+\frac{x+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)}$$
- 부분분수 분해에 등장하는 유리함수의 부정적분은 다음과 같다
$$\int \frac{x-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)} \, dx= \frac{\log \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)+2 \tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} x\right)}{4 \sqrt{2}} $$ $$\int \frac{x+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)} \, dx= \frac{\log \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)+2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{2} x+1\right)}{4 \sqrt{2}}$$
- 따라서 $$\int \frac{1}{1+x^4} \, dx=\frac{-\log \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)+\log \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)-2 \tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} x\right)+2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{2} x+1\right)}{4 \sqrt{2}}$$