유리함수의 부정적분

예

• 1/(1+x^2)의 적분

$1/(1+x^4)$의 부정적분

• 부분분수로 분해하면 다음을 얻는다 $$\frac{1}{1+x^4}=-\frac{x-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)}+\frac{x+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)}$$
• 부분분수 분해에 등장하는 유리함수의 부정적분은 다음과 같다

$$\int \frac{x-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)} \, dx= \frac{\log \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)+2 \tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} x\right)}{4 \sqrt{2}} $$ $$\int \frac{x+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)} \, dx= \frac{\log \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)+2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{2} x+1\right)}{4 \sqrt{2}}$$

• 따라서 $$\int \frac{1}{1+x^4} \, dx=\frac{-\log \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)+\log \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)-2 \tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} x\right)+2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{2} x+1\right)}{4 \sqrt{2}}$$

관련된 항목들

• 오일러 치환
• 바이어슈트라스 치환
• 삼각치환

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSEZ2SjZITHlTZW8/edit