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* 수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨:<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math><br> | * 수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨:<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math><br> | ||
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* <math>s=0</math> 에서 order 가 <math>r_1+r_2-1</math> 인 zero를 가지며 다음이 성립한다:<math> \lim_{s\to 0}\frac{\zeta_K(s)}{s^{r_1+r_2-1}}=-\frac{h_K R_K}{w_K}</math><br> | * <math>s=0</math> 에서 order 가 <math>r_1+r_2-1</math> 인 zero를 가지며 다음이 성립한다:<math> \lim_{s\to 0}\frac{\zeta_K(s)}{s^{r_1+r_2-1}}=-\frac{h_K R_K}{w_K}</math><br> | ||
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| + | ===기호=== | ||
| + | * <math>K</math> 수체 | ||
| + | * <math>C_K</math> ideal class group | ||
2013년 2월 8일 (금) 02:12 판
개요
- 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨\[\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\]
- 예
- \(K=\mathbb{Q}\) 인 경우, 리만제타함수를 얻음
- 전체 복소평면으로 해석적확장(analytic continuation) 되며, \(s=1\) 에서 simple pole을 가진다
- \(s=1\) 에서의 유수 (유수정리(residue theorem) ) 는 디리클레 class number formula (http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_formula ) 로 주어진다\[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\]
- \(s=0\) 에서 order 가 \(r_1+r_2-1\) 인 zero를 가지며 다음이 성립한다\[ \lim_{s\to 0}\frac{\zeta_K(s)}{s^{r_1+r_2-1}}=-\frac{h_K R_K}{w_K}\]
기호
- \(K\) 수체
- \(C_K\) ideal class group
함수방정식
- 리만제타함수 의 함수방정식\[\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)\]\[\xi(s) = \xi(1 - s)\]
- 리만제타함수는 \(K=\mathbb{Q}\) 인 경우, 즉 \(\zeta(s)=\zeta_{\mathbb{Q}}(s)\)
- 데데킨트 제타함수에 대해서 다음과 같은 함수방정식이 성립\[\xi_{K}(s)=\left|d_K\right|{}^{s/2} 2^{r_2 (1-s)} \pi ^{\frac{1}{2} \left(-r_1-2 r_2\right) s}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)^{r_1} \Gamma (s)^{r_2}\zeta _K(s)\]\[\xi_{K}(s) = \xi_{K}(1 - s)\]
부분제타함수
- 각각의 ideal class \(A\in C_K\) 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의\[\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}\]
- 제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨\[\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\]
- 더 일반적으로 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음\[L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\]
예
special values
Klingen-Siegel 정리
- F : totally real \([F: \mathbb{Q}]=n\)이라 하자
적당한 유리수 \(r(m)\in \mathbb{Q}\)에 대하여\[\zeta_{F}(2m)=r(m)\frac{\pi^{2mn}}{\sqrt{|d_{F}|}}\], \(m>0\) - http://planetmath.org/SiegelKlingenTheorem.html
Zagier, Bloch, Suslin
- \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)일 때,
\[\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \frac{\pi^{2(r_1 + r_2)}}{\sqrt{|d_{K}|}}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\]
여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 Q-basis
D는 Bloch-Wigner dilogarithm 함수이며, \(a\sim b\) 는 \(a/b\in\mathbb{Q}\) 를 의미함
역사
메모
- http://www.umpa.ens-lyon.fr/~brunault/recherche/parma.pdf
- http://mathoverflow.net/questions/87873/dedekind-zeta-function-behaviour-at-1
관련된 항목들
계산 리소스
사전 형태의 자료
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- H. M. Stark, "Galois theory, algebraic number theory and zeta functions" ,in \ From number theory to physics", ed. M. Walschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson Springer
- H. M. Stark, The analytic theory of algebraic numbers http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183537391
- Matilde N. Lalin, Hyperbolic volumes and zeta values An introduction
관련논문
- Hyperbolic manifolds and special values of Dedekind zeta-functions
- Don Zagier, Inventiones Mathematicae, Volume 83, Number 2 / 1986년 6월
- D. Zagier, Polylogarithms, Dedekind zeta functions and the algebraic K-theory of fields http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/scanned/PolylogsDedekindZetaAndKTheory/fulltext.pdf
- Commensurability classes and volumes of hyperbolic 3-manifolds
- A. Borel, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa8, 1–33 (1981)
관련도서