파울리 행렬

개요

• 전자의 스핀과 전자기장의 상호작용을 기술하기 위한 파울리 방정식 을 찾는 과정에서 등장
  
• 파울리 행렬\[\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \]\[\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \]\[\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\]
  

 

 

commutator

• \(\left[\sigma _i,\sigma _j\right]=2i \epsilon _{i j k}\sigma _k\)
  

 

 

anti-commutator

• \(\left\{\sigma _i,\sigma _j\right\}=2\delta _{i j}\)
  
• \(\left\{I,\sigma _1,\sigma _2,\sigma _3,iI,i \sigma _1,i \sigma _2,i \sigma _3\right\}\) 를 기저로 갖는  클리포드 대수를 얻는다
  
• 3차원 유클리드 공간 \(E_{3}\)의 클리포드 대수\(C(E_{3})\)와 동형이다
  

 

 

사원수와의 관게

• 해밀턴의 사원수 참조
  

 

 

sl(2)

• raising and lowering 연산자

\[\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\] \[\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\] \[\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\] \[[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\]

여러가지 관계식

$$ \sigma_{+}^2=\sigma_{-}^2=0 $$

$$ \{\sigma_{+},\sigma_{-}\}=1 $$

$$ \sigma_{+}\sigma_{-}=(1+\sigma_z)/2 $$

$$ \exp(i \frac{\pi}{2}\sigma_z)=i\sigma_z $$ 

스핀

 

• 양자역학적 시스템의 간단한 예
  
• 스핀과 파울리의 배타원리 항목 참조
  

 

 

역사

• 수학사 연표

 

 

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 클리포드 대수와 스피너
• 파울리 방정식
• 스핀과 파울리의 배타원리
• 요르단-위그너 변환(Jordan-Wigner transformation)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUUxmTjdqM1VEamM/edit

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations