가우스 합

개요

• 이차잉여의 상호법칙 을 증명하기 위해 가우스가 도입
• 유한군 위에 정의된 푸리에 변환의 관점에서 이해할 수 있음
• 이차잉여에 등장하는 자코비 부호의 푸리에 변환
• 자코비 세타함수의 행동을 이해하는데 중요하다

초등정수론의 가우스합

정의

• \(p\) 는 홀수인 소수.
• \(a=1\)이고 \(\chi(t)=\left(\frac{t}{p}\right)\) 일 때, 가우스합은 다음과 같이 주어짐

\[g_1(\chi) := \sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right)e^{2 \pi i a/p}=\sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a\]

(정리)

홀수인 소수 \(p\)에 대하여 가우스합은 다음과 같이 주어진다.

\(p \equiv 1 \pmod 4\) 일 때, \(g_1(\chi)=\sqrt{p}\)

\(p \equiv 3 \pmod 4\) 일 때, \(g_1(\chi)=i\sqrt{p}\)

또다른 정의

• 위의 정의 대신 다음 정의를 사용하기도 함

\[\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\]

• 이 두 정의가 같음을 보이자

\[\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\]

(증명) $A,B$를 다음과 같이 정의하자 \[A=\sum_{a\in QR} \zeta^a=\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p} \label{AQR}\] \[B=\sum_{a\in QNR} \zeta^a\] 다음이 성립한다 \[A+B=-1 \label{sum}\] \[A-B=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a \label{diff}\]

\ref{sum}과 \ref{diff}의 양변을 더하여 다음을 얻는다 \[2A+1=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a\]

한편, \ref{AQR}로부터, \[2A+1=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\] 이므로, \[\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\] 를 얻는다.■

일반화

• 소수가 아닌 모든 자연수 \(M\)에 대해서도 다음과 같이 정의할 수 있음

\[G(M) := \sum_{r=0}^{M-1} e^{2\pi i r^2/M}\] \(M \equiv 1 \pmod 4\) 일 때, \(G(M)=\sqrt{M}\)

\(M \equiv 2 \pmod 4\) 일 때, \(G(M)=0\)

\(M \equiv 3 \pmod 4\) 일 때, \(G(M)=i\sqrt{M}\)

\(M \equiv 0 \pmod 4\) 일 때, \(G(M)=(1+i)\sqrt{M}\)

가우스합 S(p,q)와 상호법칙

• \(pq\)가 짝수인 자연수p,q에 대하여 다음을 정의\[S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\]
• \(p=2\)로 두면 위에서 정의한 가우스합을 다시 얻게 된다\[S(2,q)=G(q)\]
• 성질\[S(ap,aq)=S(ap,aq)\]\[S(a^2p,q)=S(p,q)\]\[S(ap,q)=\left(\frac{a}{q}\right) S(p,q)\]
• 자코비 세타함수의 cusp에서의 변화를 기술할 때 사용될 수 있음.
• 가우스합의 상호법칙 자연수p,q에 대하여 \(pq\)가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다.\[\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)\] 증명은 가우스 합의 상호법칙(Landsberg–Schaar relation) 항목을 참조

디리클레 캐릭터와 가우스합

• 더 일반적인 가우스합을 정의할 수 있음
• 유한아벨군 위에 정의된 푸리에 변환 으로 이해할 수 있음
• \(a\in (\mathbb Z/f \mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함

\[g_a(\chi) := \sum_{(t,f)=1} \chi(t) e^{2 \pi i a t/f}=\sum_{(t,f)=1} \chi(t) \zeta^{a t}\]

여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/f}\)

• \(a=1\)이고 \(\chi(t)=\left(\frac{t}{p}\right)\) 일 때, 맨 처음에 정의한 가우스합을 다시 얻게 됨

(정리) \[g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)\] \[\chi(n)=\frac{1}{N}\sum_{(a,N)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/N}\]

(정리)

primitive인 준동형사상 \(\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 가우스합은 다음을 만족시킴

\(\tau(\chi)=g_1(\chi)\)라 두면, \(|\tau(\chi)|=\sqrt{f}\)

(정리)

실수값을 갖는 primitive character \(\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)에 대해서 다음이 성립한다.

\(\chi(-1)=1\)일때, \(\tau(\chi)=\sqrt{f}\)

\(\chi(-1)=-1\)일 때, \(\tau(\chi)=i\sqrt{f}\)

이차잉여 character의 경우

\(q \geq 2\) 는 소수라 가정하자.

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 3\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=-q\), \((\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}\)

\(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)

\(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\) , \(q \geq 5\), \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=q\), \((\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}\)

\(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)

\(\chi(-1)=1\), \(\tau(\chi)=\sqrt{q}\)

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\) , \(q \geq 1\) , \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=-4q\), \((\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}\)

\(n\in \mathbb{Z}\), \((n,4q)=1\) 에 대해서는

\(\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)\)

\(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\) , \(q \geq 3\), \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=4q\), \((\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}\)

일반적인\(n\in \mathbb{Z}\), \((n,4q)=1\) 에 대해서는

\(\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)\)

\(\chi(-1)=1\), \(\tau(\chi)=2\sqrt{q}\)

정17각형의 작도 문제의 해결 과정에서 나타나는 가우스합

• \(\zeta=e^{2\pi i \over 17}\) 로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
• \((3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}\)
• 이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
  • \(A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}\)
  • \(A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}\)
  • \(A_0+A_1= -1\) 임은 쉽게 알 수 있음
  • \(A_0-A_1\) 는 가우스합이므로 \(A_0-A_1=\sqrt{17}\)
  • \(A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\) , \(A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\)

메모

\(\sqrt{y}\theta(\frac{p}{q}+iy)\sim \frac{1}{q}S(p,q)\)

관련된 항목들

• 가우스와 정17각형의 작도
• 이차잉여의 상호법칙
• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
• 푸리에 변환
• 유한군의 표현론
• 순환군의 표현론p진해석학
• p진해석학(p-adic analysis)
• p-adic 감마함수
• 자코비 세타함수

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNjE2MTliMzMtYzk5Ni00M2YyLTkwYzctMjVkYjJiNzkwNTNk&sort=name&layout=list&num=50

관련도서

• A Classical Introduction to Modern Number Theory(Graduate Texts in Mathematics) (v. 84)
  • Kenneth Ireland, Michael Rosen

관련논문과 에세이

• The Gross Koblitz formula revisited
  • A. Robert, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 105 (2001) 157 170
• Gaussian sums, Dedekind sums and the Jacobi triple product identity
  • Robert SCZECH, Kyushu Journal of Mathematics, Vol. 49 (1995) , No. 2 233-241
• The determination of Gauss sums
  • Bruce C. Berndt and Ronald J. Evans, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 5, Number 2 (1981), 107-129
• Gauss Sums and the p-adic Γ-function
  • Benedict H. Gross and Neal Koblitz, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 109, No. 3 (May, 1979), pp. 569-581

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/가우스합
• http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_Gauss_sum