"에르미트 행렬(Hermitian matrix)과 대각화"의 두 판 사이의 차이
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** <math>A^\dagger</math> 는 A의 conjugate tranpose | ** <math>A^\dagger</math> 는 A의 conjugate tranpose | ||
| − | * 에르미트 행렬 H에서 유니터리 행렬 <math>U=e^{i H}</math> 를 얻을 수 있다 | + | * 에르미트 행렬 H에서 유니터리 행렬 <math>U=e^{i H}</math> 를 얻을 수 있다 |
| − | * 에르미트 행렬의 스펙트럼을 구하는 문제는 물리학에서 중요하다 | + | * 에르미트 행렬의 스펙트럼을 구하는 문제는 물리학에서 중요하다 |
* [[대칭행렬의 대각화|대칭행렬]] 은 실수계수 에르미트 행렬이다 | * [[대칭행렬의 대각화|대칭행렬]] 은 실수계수 에르미트 행렬이다 | ||
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** 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다 | ** 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다 | ||
** 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다 | ** 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다 | ||
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| − | * 에르미트 행렬:<math>A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1+i \\ 0 & 0 & 1-i & 0 \end{array} \right)</math> | + | * 에르미트 행렬:<math>A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1+i \\ 0 & 0 & 1-i & 0 \end{array} \right)</math> |
| − | * 행렬:<math>U=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2}-\frac{i}{2} & \frac{1}{2}+\frac{i}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{array} \right)</math | + | * 행렬:<math>U=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2}-\frac{i}{2} & \frac{1}{2}+\frac{i}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{array} \right)</math> 의 각 열은 A의 고유벡터이며, <math>U^{\dagger}=U^{-1}</math> 가 성립한다. |
| − | * <math>D=U^{\dagger}AU</math> 는 대각행렬이다:<math>D=\left( \begin{array}{cccc} -\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math> | + | * <math>D=U^{\dagger}AU</math> 는 대각행렬이다:<math>D=\left( \begin{array}{cccc} -\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math> |
==역사== | ==역사== | ||
2020년 11월 13일 (금) 08:39 판
개요
- \( A = A^\dagger\) 를 만족하는 복소계수 정사각행렬
- \(A^\dagger\) 는 A의 conjugate tranpose
- 에르미트 행렬 H에서 유니터리 행렬 \(U=e^{i H}\) 를 얻을 수 있다
- 에르미트 행렬의 스펙트럼을 구하는 문제는 물리학에서 중요하다
- 대칭행렬 은 실수계수 에르미트 행렬이다
spectral 정리
- \(n\times n\) 에르미트 행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
- 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
- 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
- 행렬 A는 유니터리 대각화 가능하다
예
\(\begin{pmatrix} \alpha& \beta \\ \overline{\beta} &\alpha \end{pmatrix}\), \(\alpha\in \mathbf{R},\beta\in\mathbf{C}\)
실수의 고유값
- \(v\neq 0, Hv=\lambda v\)라 두자.
- \(\lambda \langle v,v\rangle=\langle Hv,v \rangle=\langle v,H^\dagger v \rangle=\langle v,Hv \rangle=\bar{\lambda} \langle v,v\rangle \)
- \(\lambda=\bar{\lambda}\)
고유벡터의 직교
- \(v,w\neq 0, Hv=\lambda v, Hw=\mu v, \lambda\neq \mu\)라 두자.
- \(\lambda \langle v,w\rangle=\langle Hv,w \rangle=\langle v, Hw \rangle=\langle v,Hw \rangle=\mu \langle v,w\rangle \)
- 따라서 \(\langle v,w\rangle =0 \)
예
- 에르미트 행렬\[A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1+i \\ 0 & 0 & 1-i & 0 \end{array} \right)\]
- 행렬\[U=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2}-\frac{i}{2} & \frac{1}{2}+\frac{i}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{array} \right)\] 의 각 열은 A의 고유벡터이며, \(U^{\dagger}=U^{-1}\) 가 성립한다.
- \(D=U^{\dagger}AU\) 는 대각행렬이다\[D=\left( \begin{array}{cccc} -\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\]
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
수학용어번역
- hermitian - 대한수학회 수학용어집
사전 형태의 자료