정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)

개요

• 정수 $a,b,c$에 대하여 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 다항식을 정수계수 이변수 이차형식이라 함
• 자연수를 두 개의 제곱의 합으로 표현하는 문제에서 체계적인 연구가 시작
  • 이차형식 $x^2+y^2$에 대한 연구
  • 페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리 항목 참조
• 이차 수체를 공부하는 것과 밀접하게 연관
  • 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론 항목 참조
  • 양의 정부호인 이차형식을 공부하는 것은 복소이차수체와 연관
  • 펠 방정식(Pell's equation) $x^2-dy^2=1, d\in \mathbb{N}$은 실이차수체와 연관
• 대수적수론과 정수 계수 위에 정의된 격자 이론 등으로 발전
• 이차형식은 수학의 중요한 연구 주제

기본용어

• 판별식\[\Delta=b^2-4ac\]
• primitive 이차형식은 \(a,b,c\) 가 서로소인 이차형식 \(ax^2+bxy+cy^2\)으로 정의됨

정수계수 이변수 이차형식의 동치류

• 다음 두 변환에 의해 같아지는 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의

\[x \to x+y, y \to y\] \[x \to x, y \to x+y\]

• 이러한 변환을 행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며, 이는 모듈라 군(modular group)을 생성함

\[T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , R=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] $$ S=\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) $$로 두면, $S=T^{-1}RT^{-1}$

• 즉 \(f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)\) 인 정수 \(ad-bc= 1\) 가 존재하면, \(f\sim g\) 이라 함

중요한 문제들

• 주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수에 관한 문제
  • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
  • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가? 예로 이차형식 x^2+27y^2 항목 참조
• 주어진 판별식\(\Delta<0\) 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
  • \(\Delta=b^2-4ac\)를 만족시키는 모든 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
  • 주어진 판별식을 가지는 이차형식의 동치류는 유한 개 있다
  • 판별식이 \(\Delta\)인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 \(h(\Delta)\)를 \(\Delta\)에 대한 class number 라 함
  • genus의 개념

기약 형식과 fundamental domain

• 주어진 이차형식이 있을때,
• 모듈라 군의 작용에 의한 복소상반평면의 fundamental domain은 다음과 같다\[R = \left\{ \tau \in \mathbb{H}: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}\] + 경계조건
• 기약 형식
  • 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
  • \(|b|\leq a \leq c\) and \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\)
• \(ax^2+bxy+cy^2=a(x-\tau y)(x-\bar{\tau} y)\), \(\mbox{Im}\, \tau >0\) 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다\[|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}\]\[a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1\] fundamental domain의 경계조건은 \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\) 로 옮겨짐

(정리)

\(\tau\) (\(\mbox{Im}\, \tau >0\)) 에 대응되는 이차형식은 \(x=aX+bY, y=cX+dY\) (여기서 \(a,b,c,d\)는 정수이고 \(ad-bc= 1\))에 의해 \(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\) 에 대응되는 이차형식으로 변환된다.

판별식이 작은 경우의 기약형식 예

• 자세한 목록은 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록 항목 참조
• \(\Delta=b^2-4ac=-3\)
  • \(x^2+xy+y^2\)
• \(\Delta=b^2-4ac=-4\)
  • \(x^2+y^2\)
• \(\Delta=b^2-4ac=-8\)
  • \(x^2+2y^2\)
• \(\Delta=b^2-4ac=-15\)
  • \(x^2+xy+4y^2\), \(2x^2+xy+2y^2\)
  • \(h(\Delta)=2\) 이 되는 첫번째 예
  • 다항식 x³-x+1 참조
• \(\Delta=b^2-4ac=-20\)
  • \(x^2+5y^2\), \(2x^2+2xy+3y^2\)
• \(\Delta=b^2-4ac=-23\)
  • \(x^2+xy+6y^2\), \(2x^2-xy+3y^2\), \(2x^2+xy+3y^2\)
  • \(h(\Delta)=3\) 이 되는 첫번째 예
• \(\Delta=b^2-4ac=-40\)
  • \(x^2+10y^2\), \(2x^2+5y^2\)
• \(\Delta=b^2-4ac=-163\)
  • \(x^2+xy+41y^2\)
  • \(h(\Delta)=1\) 이 되는 가장 큰 예
  • 오일러의 소수생성다항식 x²+x+41 , 숫자 163 참조
• \(\Delta=b^2-4ac=-240\)
  • \(x^2+58y^2\), \(2x^2+29y^2\)
  • 58에 대해서는 오일러의 convenient number ( Idoneal number) 항목 참조
• 더 자세한 목록은 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록 항목 참조

가우스의 class number one 문제

• 기본판별식(fundamental discriminant)
  • \(\Delta=\Delta_0f^2\) 의 형태로 쓸 수 없는 \(\Delta\) (\(\Delta_0\)는 적당한 판별식, \(f\)는 1보다 큰 정수)
  • 이차 수체(quadratic number fields) 로부터 얻어지는 판별식임
• 가우스의 문제
  • 기본판별식 \(\Delta<0\) 에 대하여 \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163\)
• 일반적으로는 다음과 같음
  • \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163\)
• 가우스의 class number one 문제 항목에서 자세히 다룸

genus

• 판별식이 \(\Delta\)인 두 primitive 양의정부호 이차형식가 \((\mathbb{Z}/\Delta\mathbb{Z})^{*}\)의 같은 수를 표현하면 같은 genus에 있다고 부른다
• http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/09ConwayNotesPrelim.pdf
• On the Development of the Genus of Quadratic Forms (005-062.pdf)
  • Günther Frei, Ann. Sci. Math. Québec 3 (1979), no 1, 5-62
• The Origins of the Genus Concept in Quadratic Forms
  • Mark Beintema & Azar Khosravani, The Montana Mathematics Enthusiast
• The development of the principal genus theorem
  • Franz Lemmermeyer, ArXiv, 16 Jul 2002
• On euler's partition of forms into generaA.A. Antropov

이차형식과 이차 수체의 ideal 사이의 대응

• 이차형식과 이차 수체의 ideal을 대응시킴으로서, 주어진 판별식을 갖는 이차형식의 합성을 정의할 수 있음
  • 이차형식의 합성이란 \((x_ 1^2+y_ 1^2)(x_ 2^2+y_ 2^2)=(x_ 1x_ 2-y_ 1y_ 2)^2+(x_ 1y_ 2-x_ 2y_ 1)^2\)와 같은 공식의 일반화
• \(ax^2+bxy+cy^2\)가 양의정부호 즉 \(a>0\), \(\Delta=b^2-4ac<0\) 를 만족할 때, 대응되는 ideal은 \([2a, -b+\sqrt\Delta]\)로 주어짐

메모

• http://swc.math.arizona.edu/aws/09/index.html

역사

• 수학사 연표

사전형태의 참고자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_quadratic_form
• http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_problem
• http://mathworld.wolfram.com/ClassNumber.html

관련된 항목들

• 이차형식
• 모듈라 군(modular group)
• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
• 펠 방정식(Pell's equation)
• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
• 오일러의 convenient number ( Idoneal number)

관련논문과 에세이

• J.P. Serre \(\Delta=b^2-4ac\), Math. Medley, Singapore Math.Soc. 13 (1985), 1-10
  • 파일:1943100-serre on class number.pdf
• Dorian Goldfeld Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37