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==관련도서== | ==관련도서== | ||
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* Harold M. Edwards [http://www.amazon.com/Riemanns-Zeta-Function-Harold-Edwards/dp/0486417409 Riemann's Zeta Function] | * Harold M. Edwards [http://www.amazon.com/Riemanns-Zeta-Function-Harold-Edwards/dp/0486417409 Riemann's Zeta Function] | ||
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| + | * Jerry Shurman, [http://people.reed.edu/%7Ejerry/311/zeta.pdf Meromorphic continuation and functional equation of Riemann zeta] | ||
| + | * Sarnak [http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Sarnak_RH.pdf Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis], 2004 | ||
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==사전형태의 자료== | ==사전형태의 자료== | ||
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* http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/ | * http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/ | ||
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==블로그== | ==블로그== | ||
| − | * [http://www.msri.org/communications/vmath/VMathVideos/VideoInfo/3793/show_video Riemann's zeta function] | + | * [http://www.msri.org/communications/vmath/VMathVideos/VideoInfo/3793/show_video Riemann's zeta function] |
** Williams, Floyd, June 16, 2008, MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵 | ** Williams, Floyd, June 16, 2008, MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵 | ||
** 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의 | ** 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의 | ||
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** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/02/02/528 리만의 제타함수 (1)] | ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/02/02/528 리만의 제타함수 (1)] | ||
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/02/04/529 리만의 제타함수 (2) : 수의 체계] | ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/02/04/529 리만의 제타함수 (2) : 수의 체계] | ||
2014년 7월 6일 (일) 16:44 판
개요
- 복소수 $\Re(s)>1$에 대하여 다음과 같은 급수로 복소함수를 정의
\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\]
- 이렇게 실수부가 1보다 큰 복소수 영역에서 급수로 정의된 함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
- 그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
- 리만가설은 리만제타함수의 해에 관련된 미해결문제.
- 정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수
- 이 함수를 이해하는 좀더 일반적인 이론적 틀에 대해서는 L-함수, 제타함수와 디리클레 급수 항목을 참조
해석적확장 (analytic continuation)
- 자코비 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.\[\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\]
- 감마함수\[\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\] 를 이용하면, \[\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}\]
- 형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.
\[\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]
- 그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정하여, 적분이 모든 s에 대하여 정의되도록 함.
\[\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]
여기서는 자코비 세타함수의 성질 \[\theta(iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})\] 이 사용됨.
리만제타함수의 함수방정식
- 리만제타함수는 \(s=\frac{1}{2}\) 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.\[\xi(s) = \xi(1 - s)\] 즉,\[\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\]
- 증명
자코비 세타함수의 모듈라 성질을 사용하면, \[\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}\]
이므로, \(\xi(s)\) 의 정의를 이용하면, \[\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]
를 얻는다.
이 식에서 \(s \leftrightarrow 1-s\) 는 우변을 변화시키지 않음므로 함수방정식 \(\xi(s) = \xi(1 - s)\)을 얻는다. ■
복소함수로서의 리만제타함수
- meromorphic function
- 1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다\[\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\]
- 더 정확히는\[\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n\]
여기서 \(\gamma_n\)은 스틸체스 상수
리만가설
special values
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 항목들
수학용어번역
- analytic continuation 해석적 접속
- 해석적확장으로 하는게 적당해 보임
- continuation 연속
- continuation method 연속법
- direct analytic continuation 직접해석접속
관련도서
- Harold M. Edwards Riemann's Zeta Function
리뷰, 에세이, 강의노트
- Jerry Shurman, Meromorphic continuation and functional equation of Riemann zeta
- Sarnak Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis, 2004
사전형태의 자료
관련링크와 웹페이지
블로그
- Riemann's zeta function
- Williams, Floyd, June 16, 2008, MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
- 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
- 피타고라스의 창