"푸앵카레 상반평면 모델"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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* [[가우스-보네 정리]]로도 같은 결과를 얻을 수 있으며, 더 일반적인 곡면에 적용가능하다<br>
 
* [[가우스-보네 정리]]로도 같은 결과를 얻을 수 있으며, 더 일반적인 곡면에 적용가능하다<br>
  
 
 
 
 
 
 
==쌍곡기하학의 삼각형==
 
 
위의 그림들처럼 그 공간을 똑같이 생긴 삼각형으로 채운 그림은, 지금 나온것만 해도 위상수학, 미분기하학, 군론 등등 많은 수학을 이어주기 때문에, 중요하다. 가령 아래 그림 역시 쌍곡기하학의 그림인데, [[모듈라 군(modular group)]]이라고 하는 수학적으로 매우 중요한 대상을 공부할 때, 반드시 등장한다. 참고로 이 그림에 등장하는 삼각형은 <math> (2, 3, \infty)</math>이다.
 
 
 
사람들은 유클리드 기하학이 가장 쉬운 기하학이라고 생각을 하지만, 삼각형의 넓이 구하는 일을 생각하면 꼭 그렇지가 않다. 초등학교에 가면 삼각형의 넓이 구하는 방법을 가르쳐주는데, 변의 길이를 적어도 하나는 꼭 알아야 한다. 그런데 쌍곡기하학에서는 변의 길이를 알 필요가 전혀 없다. '''각도가 모든 것을 결정한다'''!!! 삼각형의 세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어져 있다면 그 넓이는 <math>\pi - \alpha- \beta- \gamma</math> 가 된다.
 
 
이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실, :<math>1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})</math>
 
 
를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.
 
 
정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.
 
 
 
 
그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는 :<math>\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math>
 
 
로 주어진다. 이를 [http://en.wikipedia.org/wiki/%282,3,7%29_triangle_group (2,3,7) 삼각형]이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는 :<math>\pi-\frac{\pi}{7}-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{42}</math>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==테셀레이션==
 
 
[[파일:3065168-dedekind1877.gif]]
 
  
  
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
 
+
* [[2차원 쌍곡기하학의 테셀레이션]]
* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]
+
* [[케일리 뫼비우스 변환]]
 +
* [[로바체프스키 함수]]
 
* [[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]]
 
* [[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]]
* [[케일리 뫼비우스 변환]]
 
 
* [[이와사와 분해 (Iwasawa decomposition)]]
 
* [[이와사와 분해 (Iwasawa decomposition)]]
 
 
 
 

2013년 6월 8일 (토) 02:16 판

개요



정의

  • \(\mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\}\)



제1기본형식

  • 리만 메트릭\[ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\]
  • \(E=1/y^2\)
  • \(F=0\)
  • \(G=1/y^2\)
  • 면적소\[dA=\frac{dx\,dy}{y^2}\]
  • 두 점 사이의 거리\[\rho(z_ 1,z_ 2)=2\tanh^{-1}\frac{|z_ 1-z_ 2|}{|z_ 1-\overline{z_ 2}|}\]


크리스토펠 기호

  • 크리스토펠 기호\[\begin{array}{ll} \Gamma _ {11}^1 & 0 \\ \Gamma _ {12}^1 & -\frac{1}{y} \\ \Gamma _ {21}^1 & -\frac{1}{y} \\ \Gamma _ {22}^1 & 0 \\ \Gamma _ {11}^2 & \frac{1}{y} \\ \Gamma _ {12}^2 & 0 \\ \Gamma _ {21}^2 & 0 \\ \Gamma _ {22}^2 & -\frac{1}{y} \end{array}\]
  • 등장변환군(isometry group)

\[\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\]


라플라시안

  • 라플라시안\[\Delta f=y^2(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2})\]



측지선

  • 측지선이 만족시키는 미분방정식은 다음과 같다

$$\left\{ \begin{array}{c} \frac{d^2 x }{dt^2} + \Gamma^{1}_{1 2 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt} +\Gamma^{1}_{2 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt}= 0 \\ \frac{d^2 y }{dt^2} + \Gamma^{2}_{1 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dx }{dt} +\Gamma^{2}_{2 2 }\frac{dy }{dt}\frac{dy }{dt} = 0 \end{array} \right. $$

  • 다시 쓰면 다음과 같다

$$ \left\{ \begin{array}{c} \ddot{x}y-2\dot{x}\dot{y}=0 \\ \ddot{y}y+(\dot{x})^2-(\dot{y})^2=0 \end{array} \right. $$

  • 미분방정식의 해는 적당한 상수 a,b,c,r 에 대하여 다음과 같이 주어진다
    • $(x(t),y(t))$로 매개화된 실직선에 수직인 반원 $$\left\{ \begin{array}{c} x(t)=a+b\tanh(rt+c) \\ y(t)=b\operatorname{sech}(rt+c) \end{array} \right. $$ \(\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x\) 쌍곡함수)
    • $(x(t),y(t))$로 매개화된 y-축과 평행한 직선 $$\left\{ \begin{array}{c} x(t)=a \\ y(t)=be^{rt+c} \end{array} \right. $$
  • http://cktalon.wordpress.com/2010/10/22/geodesics-poincare-half-plane/


리만 텐서

\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_ {111}^1 & 0 \\ R_ {112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {121}^1 & 0 \\ R_ {122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {211}^1 & 0 \\ R_ {212}^1 & -\frac{1}{y^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {221}^1 & \frac{1}{y^2} \\ R_ {222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {111}^2 & 0 \\ R_ {112}^2 & \frac{1}{y^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {121}^2 & -\frac{1}{y^2} \\ R_ {122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {211}^2 & 0 \\ R_ {212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {221}^2 & 0 \\ R_ {222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)



쌍곡삼각형의 넓이

Hyperbolic triangle.jpg

  • 삼각형\(D=pq\infty\)의 넓이\[x(P)\] 를 점 \(P\)의 \(x\)좌표라 하고, \(x(p)=a\), \(x(q)=b\)라 두자. \[A(D)=\int\int_{D}\frac{dx\,dy}{y^2}=\int_{a}^{b}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\frac{dy\,dx}{y^2}=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\int_{\pi-\alpha}^{\beta+\beta'}\,d\theta=\pi-\alpha-\beta-\beta'\]\[x=\cos \theta\]로 치환, \(a=\cos (\pi-\alpha)\), \(b=\cos (\beta+\beta')\)을 사용하였음
  • 삼각형 \(D'=rq\infty\)의 넓이
    위에서 얻은 결과를 적용할 수 있다 \[A(D')=\pi-(\pi-\gamma)-\beta'=\gamma-\beta'\]

 

(정리)

세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)인 쌍곡삼각형 \(\Delta\)의 넓이는 \(\pi - \alpha- \beta- \gamma\) 로 주어진다.

 

(증명)

\(A(\Delta)=A(D)-A(D')=\pi-\alpha-\beta-\beta'-(\gamma-\beta')=\pi - \alpha- \beta- \gamma\) ■

 



역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

수학용어번역

  • isometry - 대한수학회 수학용어집

 

사전 형태의 자료