"2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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==정수 수열==
 
==정수 수열==
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* 정수로 이루어진 수열 <math>\{a_n\},\{b_n\}</math>를 다음과 같이 정의하자 :<math>(1 + \sqrt{2})^n=a_n+\sqrt{2}b_n, n=0,1,\cdots</math>  
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* 정수로 이루어진 수열 <math>\{p_n\},\{q_n\}</math>를 다음과 같이 정의하자 :<math>(1 + \sqrt{2})^n=p_n+\sqrt{2}q_n, n=0,1,\cdots</math>  
 
* 이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
 
* 이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
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** <math>a_{n+1}=a_n+2 b_n</math>, <math>a_0=1</math>
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** <math>p_{n+1}=p_n+2 q_n</math>, <math>p_0=1</math>
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** <math>b_{n+1}=a_n+b_n</math>, <math>b_0=0</math>
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** <math>q_{n+1}=p_n+q_n</math>, <math>q_0=0</math>
 
* 처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
 
* 처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
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** <math>a_n</math> 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
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** <math>p_n</math> 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
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** <math>b_n</math> 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378
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** <math>q_n</math> 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378
 
* 다음의 성질을 만족한다
 
* 다음의 성질을 만족한다
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** <math>a_n/b_n</math>는 루트 2로 수렴한다
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** <math>p_n/q_n</math>는 루트 2로 수렴한다
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** <math>a_n/b_n</math>는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
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** <math>p_n/q_n</math>는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
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** <math>a_n^2-2 b_n^2=(-1)^{n}</math>
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** <math>p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n}</math>
 
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\begin{vmatrix}
 
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  a_{n} & a_{n+1} \\
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  p_{n} & p_{n+1} \\
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  b_{n} & b_{n+1}
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  q_{n} & q_{n+1}
 
\end{vmatrix}=(-1)^{n}
 
\end{vmatrix}=(-1)^{n}
 
</math>
 
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** <math>\{a_n\},\{b_n\}</math> 는 [[루카스 수열]]로 다음을 만족한다
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** <math>\{p_n\},\{q_n\}</math> 는 [[루카스 수열]]로 다음을 만족한다
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*** <math>a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}, a_0=1, a_1=1</math>
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*** <math>p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=1</math>
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*** <math>b_{n+1}=2b_n+b_{n-1}, b_0=0, b_1=1</math>
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*** <math>q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=0, q_1=1</math>
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==메모==
 
==메모==

2014년 11월 23일 (일) 05:39 판

개요

  • 루트 2, $\sqrt{2}$, 피타고라스 상수라 불리기도 함
  • 무리수의 대표적인 예
  • 방정식 $x^2=2$를 만족시키며, 대수적 수


연분수 전개

  • 루트 2의 연분수 전개 \[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\]
  • convergents는 다음과 같이 주어진다 \[1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots \]


정수 수열

  • 정수로 이루어진 수열 \(\{p_n\},\{q_n\}\)를 다음과 같이 정의하자 \[(1 + \sqrt{2})^n=p_n+\sqrt{2}q_n, n=0,1,\cdots\]
  • 이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
    • \(p_{n+1}=p_n+2 q_n\), \(p_0=1\)
    • \(q_{n+1}=p_n+q_n\), \(q_0=0\)
  • 처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
    • \(p_n\) 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
    • \(q_n\) 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378
  • 다음의 성질을 만족한다
    • \(p_n/q_n\)는 루트 2로 수렴한다
    • \(p_n/q_n\)는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
    • \(p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n}\)
    • \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n} \)
    • \(\{p_n\},\{q_n\}\) 는 루카스 수열로 다음을 만족한다
      • \(p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=1\)
      • \(q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=0, q_1=1\)

메모


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련된 항목들

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