"유리계수 이차형식"의 두 판 사이의 차이

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* $f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-11 z^2$는 등방형식이다. 예를 들어 $f(1,2,1)=(0,0,0)$
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* $f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-11 z^2$는 등방형식이다. 예를 들어 $f(1,2,1)=0$
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* $g(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-7 z^2$는 비등방형식이다. $f(x,y,z)=0$을 만족하는 $(x,y,z)\neq 0\in \mathbb{Q}^3$는 존재하지 않는다
 
* $g(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-7 z^2$는 비등방형식이다. $f(x,y,z)=0$을 만족하는 $(x,y,z)\neq 0\in \mathbb{Q}^3$는 존재하지 않는다
  
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* $f=x^2-15 y^2$와 $g=3 x^2-5 y^2$는 유리수체 위에서 동치관계에 있지 않다
 
* $f=x^2-15 y^2$와 $g=3 x^2-5 y^2$는 유리수체 위에서 동치관계에 있지 않다
 
* 가령 $f$와 $g$는 $\mathbb{Q}_2$ 또는 $\mathbb{Q}_5$에서 동치관계에 있지 않다 (1을 표현할 수 있는지의 여부로 판단가능)
 
* 가령 $f$와 $g$는 $\mathbb{Q}_2$ 또는 $\mathbb{Q}_5$에서 동치관계에 있지 않다 (1을 표현할 수 있는지의 여부로 판단가능)
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* 그러면 local-global 원리에 의해 유리수체 위에서 동치관계가 성립할 수 없음을 알 수 있다
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* Hasse-Minkowski 불변량
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* $f=x^2-82 y^2$와 $g=2 x^2-41 y^2$는 유리수체 위에서 동치관계에 있다
 
* $f=x^2-82 y^2$와 $g=2 x^2-41 y^2$는 유리수체 위에서 동치관계에 있다
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* 이차형식에 대응되는 대각행렬 $Q_f,Q_g$를 다음과 같이 쓰자
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Q_f=\left(
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Q_g=\left(
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* 다음이 성립한다
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P^{T}Q_fP=Q_g
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여기서
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P=\left(
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\frac{10}{3} & -\frac{41}{3} \\
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-\frac{1}{3} & \frac{5}{3}
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* Hasse-Minkowski 불변량
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\begin{array}{c|cc}
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p & c_p(f)& c_p(g) \\
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\infty  & 1 & 1 \\
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2014년 1월 12일 (일) 19:56 판

개요


등방형식

예1

  • $f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-11 z^2$는 등방형식이다. 예를 들어 $f(1,2,1)=0$

예2

  • $g(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-7 z^2$는 비등방형식이다. $f(x,y,z)=0$을 만족하는 $(x,y,z)\neq 0\in \mathbb{Q}^3$는 존재하지 않는다


동치관계

예1

  • $f=x^2-15 y^2$와 $g=3 x^2-5 y^2$는 유리수체 위에서 동치관계에 있지 않다
  • 가령 $f$와 $g$는 $\mathbb{Q}_2$ 또는 $\mathbb{Q}_5$에서 동치관계에 있지 않다 (1을 표현할 수 있는지의 여부로 판단가능)
  • Hasse-Minkowski 불변량

$$ \begin{array}{c|cc} p & c_p(f)& c_p(g) \\ \hline \infty & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & -1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \end{array} $$

예2

  • $f=x^2-82 y^2$와 $g=2 x^2-41 y^2$는 유리수체 위에서 동치관계에 있다
  • 이차형식에 대응되는 대각행렬 $Q_f,Q_g$를 다음과 같이 쓰자

$$ Q_f=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -82 \end{array} \right) , \quad Q_g=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & -41 \end{array} \right) $$

  • 다음이 성립한다

$$ P^{T}Q_fP=Q_g $$ 여기서 $$ P=\left( \begin{array}{cc} \frac{10}{3} & -\frac{41}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \end{array} \right). $$

  • Hasse-Minkowski 불변량

$$ \begin{array}{c|cc} p & c_p(f)& c_p(g) \\ \hline \infty & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \end{array} $$


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련도서

  • Serre, J.-P. 1973. A Course in Arithmetic. Springer.
    • 책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함
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