가우스 정수

개요

• 수체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$의 정수환 \(\mathcal{O}_K\)은 다음과 같다

$$ \mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb{Z}\} $$ 여기서 $i$는 $x^2+1=0$의 해 $\sqrt{-1}$.

• $\mathbb{Z}[i]$의 원소를 가우스 정수라 부른다
• 페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리에 등장

소 아이디얼 (prime ideal)

• 단위원 $\{1,-1,i,-i\}$
• $(2)=(1+i)^2$
• $p\equiv 1\pmod 4$이면, $p=x^2+y^2$를 만족시키는 $(x,y)\in \mathbb{Z}^2$가 존재하며, $(p)=(x+iy)(x-iy)$
• $p\equiv 3\pmod 4$이면, $(p)$는 소 아이디얼
• 아래 표에서 $\{x,y\}$는 $p=x^2+y^2$의 정수해

$$ \begin{array}{c|c|c|c} p & p \bmod 4 & x^2+1 \bmod p & \{x,y\} \\ \hline 2 & 2 & (x+1)^2 & \text{x} \\ 3 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\ 5 & 1 & (x+2) (x+3) & \{-1,-2\} \\ 7 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\ 11 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\ 13 & 1 & (x+5) (x+8) & \{3,-2\} \\ 17 & 1 & (x+4) (x+13) & \{1,-4\} \\ 19 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\ 23 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\ 29 & 1 & (x+12) (x+17) & \{-5,-2\} \\ 31 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\ 37 & 1 & (x+6) (x+31) & \{-1,-6\} \\ 41 & 1 & (x+9) (x+32) & \{5,-4\} \\ 43 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\ 47 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\ 53 & 1 & (x+23) (x+30) & \{7,-2\} \\ 59 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\ 61 & 1 & (x+11) (x+50) & \{-5,-6\} \\ 67 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\ 71 & 3 & x^2+1 & \text{x} \end{array} $$

테이블

• 소수 $p\in \mathbb{Z}$의 분해로부터 얻어지는 소 아이디얼의 나열
• $\pi$는 소 아이디얼의 primary인 생성원, $N(\pi)$는 norm

$$ \begin{array}{c|c} \pi & N(\pi) \\ \hline 1+i & 2 \\ -3 & 9 \\ -1-2 i & 5 \\ -1+2 i & 5 \\ -7 & 49 \\ -11 & 121 \\ 3-2 i & 13 \\ 3+2 i & 13 \\ 1-4 i & 17 \\ 1+4 i & 17 \\ -19 & 361 \\ -23 & 529 \\ -5-2 i & 29 \\ -5+2 i & 29 \\ -31 & 961 \\ -1-6 i & 37 \\ -1+6 i & 37 \\ 5-4 i & 41 \\ 5+4 i & 41 \\ -43 & 1849 \\ -47 & 2209 \end{array} $$

메모

• $\alpha\in \mathbb{Z}[i]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i$이면, $\alpha$를 primary라고 부른다
  • 이는 $\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4$와 동치

관련된 항목들

• 아이젠슈타인 정수
• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
• 유클리드 평면의 테셀레이션

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTjRZMnR0b3ZQM28/edit

수학용어번역

• prime - 대한수학회 수학용어집
  • prime ideal 소 아이디얼