아이젠슈타인 정수

수학노트
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개요

  • 수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)
  • \(K\)의 정수환 \(\mathcal{O}_K\)은 다음과 같다

\[ \mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\omega]=\{a+b\omega|a,b\in \mathbb{Z}\} \] 여기서 \(\omega\)는 \(x^2+x+1=0\)의 해. \(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\) 또는 \(\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)


소 아이디얼 (prime ideal)

  • 단위원 \(\{-\omega -1,-1,-\omega ,\omega ,1,\omega +1\}\)
  • \((3)=(1-\omega)^2\)
  • \(p\equiv 1\pmod 3\)이면, \(p=x^2-x y+y^2\)를 만족시키는 \((x,y)\in \mathbb{Z}^2\)가 존재하며, \((p)=(x+y\omega)(x+y\omega^2)\)
  • \(p\equiv 2\pmod 3\)이면, \((p)\)는 소 아이디얼
  • 아래 표에서 \(\{x,y\}\)는 \(p=x^2-x y+y^2\)의 정수해

\[ \begin{array}{c|c|c|c} p & p \bmod 3 & x^2+x+1 \pmod p & \{x,y\} \\ \hline 2 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 3 & 0 & (x+2)^2 & \text{x} \\ 5 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 7 & 1 & (x+3) (x+5) & \{1,3\} \\ 11 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 13 & 1 & (x+4) (x+10) & \{1,-3\} \\ 17 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 19 & 1 & (x+8) (x+12) & \{2,-3\} \\ 23 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 29 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 31 & 1 & (x+6) (x+26) & \{1,6\} \\ 37 & 1 & (x+11) (x+27) & \{4,-3\} \\ 41 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 43 & 1 & (x+7) (x+37) & \{1,-6\} \\ 47 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 53 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 59 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 61 & 1 & (x+14) (x+48) & \{4,9\} \\ 67 & 1 & (x+30) (x+38) & \{2,9\} \\ 71 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \end{array} \]


테이블

  • 소수 \(p\in \mathbb{Z}\)의 분해로부터 얻어지는 소 아이디얼의 나열
  • \(\pi\)는 소 아이디얼의 생성원, \(N(\pi)\)는 norm

\begin{array}{c|c} \pi & N(\pi) \\ \hline 2 & 4 \\ 1-\omega & 3 \\ 5 & 25 \\ 1+3 \omega & 7 \\ 2+3 \omega & 7 \\ 11 & 121 \\ 1-3 \omega & 13 \\ 4+3 \omega & 13 \\ 17 & 289 \\ 2-3 \omega & 19 \\ 5+3 \omega & 19 \\ 23 & 529 \\ 29 & 841 \\ 1+6 \omega & 31 \\ 5+6 \omega & 31 \\ 4-3 \omega & 37 \\ 7+3 \omega & 37 \\ 41 & 1681 \\ 1-6 \omega & 43 \\ 7+6 \omega & 43 \\ 47 & 2209 \end{array}


메모

  • \(\alpha\in \mathbb{Z}[\omega]\)가 \(\alpha\equiv \pm 1 \pmod 3\)을 만족하면, \(\alpha\)를 primary라고 부른다
    • 이는 \(\alpha=a+b\omega, 3\nmid a, 3|b\)와 동치


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • prime - 대한수학회 수학용어집
    • prime ideal 소 아이디얼
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