3차 상호법칙

수학노트
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개요

  • 3차의 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 분해할 때 나타나는 현상의 이해


아이젠슈타인 3차 상호법칙

거듭제곱 잉여 부호

  • 거듭제곱 잉여 부호와 상호법칙에서 가져옴
  • \(n\geq 2\) : 자연수
  • \(K\)는 \(n\)의 단위근 \(\zeta_n\)이 속해 있는 수체
  • \(\mathcal{O}_K\)는 \(K\)의 정수환 \(\zeta_n\in\mathcal{O}_K\)
  • \(\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K \)는 \(n \not \in \mathfrak{p}\)을 만족하는 소아이디얼
  • \(\mathrm{N} \mathfrak{p} : = |\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}|\)
    • \(\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}\)은 유한체 (finite field)이므로, 소수 \(p\)와 적당한 \(f\in \mathbb{Z}\)에 대하여, \(\mathrm{N} \mathfrak{p}=p^f\)
    • \(\zeta_n\in (\mathcal{O}_K / \mathfrak{p})^{\times}\)으로 생성되는 부분군의 크기는 \(\mathrm{N} \mathfrak{p}-1 =p^f-1\)을 나눈다
    • 따라서 \(\mathrm{N} \mathfrak{p} \equiv 1 \pmod{n}\)을 만족한다
  • (페르마의 소정리) \(\alpha \in \mathcal{O}_k,\;\;\; \alpha\not\in \mathfrak{p},\)에 대하여 다음이 성립한다

\[ \alpha^{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}\equiv 1 \pmod{\mathfrak{p} }. \]

  • 다음을 만족하는 유일한 \(s\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\)가 존재한다

\[ \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\equiv \zeta_n^s\pmod{\mathfrak{p}} \]

  • 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상을 다음과 같이 정의

\[ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n : = \zeta_n^s \] 여기서 \(\zeta_n^s \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\pmod{\mathfrak{p}}\)

  • \(n\)과 서로 소인 아이디얼 \(\mathfrak{a}=\prod \mathfrak{p}^{\nu_{\mathfrak{p}}}\)에 대하여 잉여 부호를 다음과 같이 정의

\[ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{a}}\right)_n:=\prod \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n^{\nu_{\mathfrak{p}}} \]


용어와 기호

  • \(\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\)
  • \(\alpha\in \mathbb{Z}[\omega]\)가 \(\alpha\equiv \pm 1 \pmod 3\)을 만족하면, \(\alpha\)를 primary라고 부른다
    • 이는 \(\alpha=a+b\omega, 3\nmid a, 3|b\)와 동치


상호법칙

정리
  • \(\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[\omega]\)가 서로소이고 primary라 하자.

\[\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_3 = \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_3. \] 또한, \(\alpha = a + b\omega\)가 primary이고 \(a = 3m + 1, b = 3n\)로 두자. (\(a\equiv 2 \pmod 3\)이면, \(\alpha\)를 \(-\alpha\)로 대체하여도, 잉여 부호는 변화가 없다) 다음이 성립한다 \[ \Bigg(\frac{\omega}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{1-a-b}{3}= \omega^{-m-n},\;\;\; \Bigg(\frac{1-\omega}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{a-1}{3}= \omega^m,\;\;\; \Bigg(\frac{3}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{b}{3}= \omega^n. \]

테이블

  • 아래 표에서 \((a,b)\)는 \(a+b\omega\in \mathbb{Z}[\omega]\)를 의미
  • 빈 칸은 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미
  • 서로 소인 소수 \(x,y\in \mathbb{Z}[\omega]\)에 대한 \(\left(\frac{y}{x}\right)_3\)의 값

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x\ddots y & (-2,0) & (-5,0) & (-2,-3) & (1,3) & (-11,0) & (1,-3) & (4,3) & (-17,0) & (-5,-3) & (-2,3) & (-23,0) & (-29,0) \\ \hline (-2,0) & & 1 & \omega & \omega ^2 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & 1 \\ \hline (-5,0) & 1 & & \omega & \omega ^2 & 1 & 1 & 1 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & 1 \\ \hline (-2,-3) & \omega & \omega & & 1 & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega & 1 \\ \hline (1,3) & \omega ^2 & \omega ^2 & 1 & & \omega & \omega ^2 & \omega & \omega & \omega & \omega & \omega ^2 & 1 \\ \hline (-11,0) & 1 & 1 & \omega ^2 & \omega & & \omega ^2 & \omega & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (1,-3) & \omega ^2 & 1 & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega ^2 & & 1 & \omega & \omega & 1 & \omega ^2 & \omega ^2 \\ \hline (4,3) & \omega & 1 & \omega & \omega & \omega & 1 & & \omega ^2 & 1 & \omega ^2 & \omega & \omega \\ \hline (-17,0) & 1 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega & \omega ^2 & & \omega ^2 & \omega & 1 & 1 \\ \hline (-5,-3) & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega & 1 & \omega ^2 & & 1 & \omega & \omega \\ \hline (-2,3) & \omega & \omega & \omega ^2 & \omega & 1 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & & \omega ^2 & \omega ^2 \\ \hline (-23,0) & 1 & 1 & \omega & \omega ^2 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega & \omega ^2 & & 1 \\ \hline (-29,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega & \omega ^2 & 1 & \\ \hline\end{array} \]

  • \(p\equiv 2 \pmod 3\)일 때, \(\alpha\in \mathbb{Z},\alpha \neq 3\)에 대하여 \(\left(\frac{\alpha}{p}\right)_3=1\)

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} p \ddots \alpha & 2 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43 \\ \hline (-2,0) & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-5,0) & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-11,0) & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-17,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-23,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-29,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-41,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 \\ \hline (-47,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-53,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-59,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-71,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline\end{array} \]



예


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


리뷰, 에세이, 강의노트


사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'cubic'}, {'LEMMA': 'reciprocity'}]
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