"타니야마-시무라 추측(정리)"의 두 판 사이의 차이

2014년 2월 4일 (화) 22:34 판

개요

유리수체 위에 정의된 타원 곡선의 Hasse-Weil L-함수와 weight 2인 모듈라 형식의 관계
'every elliptic curve over Q (the field of rational numbers) is modular'
페르마의 마지막 정리의 증명에 사용

Weil의 역 정리

예1. 타원곡선 \(E: y^2=x^3-4x^2+16\)

타원곡선\[E: y^2=x^3-4x^2+16\] conductor = 11
유한체 위의 해의 개수

\[E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty)\}\] \[M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\] \[a_p=p+1-M_p\]

모듈라 형식

\[ \begin{aligned} f(\tau)& ={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2\\ {}& =\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }- 2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots \end{aligned} \]

다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 각각 위에서 정의한 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 이 일반적으로 성립함을 볼 수 있음

\[\begin{array}{c|c|c} p & {a_p} & c_p \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & -1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 7 & -2 & -2 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 4 & 4 \\ 17 & -2 & -2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & -1 & -1 \\ 29 & 0 & 0 \\ 31 & 7 & 7 \\ 37 & 3 & 3 \\ 41 & -8 & -8 \\ 43 & -6 & -6 \\ 47 & 8 & 8 \\ 53 & -6 & -6 \\ 59 & 5 & 5 \\ 61 & 12 & 12 \\ 67 & -7 & -7 \\ 71 & -3 & -3 \end{array} \]

예2. 타원곡선 \(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)

타원곡선\[E: y^2=x^3+x^2+4x+4\] conductor = 20
유한체 위의 해의 개수

\[E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3+x^2+4x+4\}\cup \{(\infty,\infty)\}\] \[M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\] \[a_p=p+1-M_p\]

모듈라 형식

\[ \begin{aligned} f(\tau)& ={\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})^2(1-q^{10n})^2\\ {}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{3 }- q^{5 }+ 2 q^{7 }+ q^{9 }+ 2 q^{13 }+ 2 q^{15 }- 6 q^{17 }- 4 q^{19 }- 4 q^{21 }+ 6 q^{23 }+\cdots \end{aligned} \]

다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 임을 볼 수 있음

\[ \begin{array}{c|c|c} p & a_p & c_p \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & -2 \\ 5 & -1 & -1 \\ 7 & 2 & 2 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 2 & 2 \\ 17 & -6 & -6 \\ 19 & -4 & -4 \\ 23 & 6 & 6 \\ 29 & 6 & 6 \\ 31 & -4 & -4 \\ 37 & 2 & 2 \\ 41 & 6 & 6 \\ 43 & -10 & -10 \\ 47 & -6 & -6 \\ 53 & -6 & -6 \\ 59 & 12 & 12 \\ 61 & 2 & 2 \\ 67 & 2 & 2 \\ 71 & -12 & -12 \end{array} \]

예3

타원곡선 \[y^2=x^3-x\]
모듈라 형식

\[ \begin{aligned} f(\tau)&={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2\\ {}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots \end{aligned} \]

타원곡선 y²=x³-x 항목 참조

푸리에계수

modularity theorem

there exists a finite morphism \(f:X_ 0(N)\to E\) over \mathbb{Q} where \(X_ 0(N)\) is the modular curve
http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_modular_curve
http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_curve

역사

수학사 연표

메모

every elliptic curve over the rational field can be found in the Jacobian variety of the curve which parametrizes elliptic curves with level structure its conductor

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZWJhMzExOTYtNGM3Yi00ZWU1LWI2MmYtZGZiNzQ1M2JlYTRm&sort=name&layout=list&num=50

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Lang, Serge. 1995. “Some History of the Shimura-Taniyama Conjecture.” Notices of the American Mathematical Society 42 (11): 1301–1307.
Gouvêa, Fernando Q. 1994. “‘A Marvelous Proof.’” The American Mathematical Monthly 101 (3): 203–222. doi:10.2307/2975598.
Mazur, B. 1991. “Number Theory as Gadfly.” The American Mathematical Monthly 98 (7): 593–610. doi:10.2307/2324924.

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 * [[페르마의 마지막 정리]]
 * [[모듈라 곡선 X0(50)]]
+* [[사토-테이트 추측 (Sato–Tate conjecture)]]