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* 다음과 같은 전개를 얻는다:<math>(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4</math> | * 다음과 같은 전개를 얻는다:<math>(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4</math> | ||
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==하이젠베르크 대수와의 관계== | ==하이젠베르크 대수와의 관계== | ||
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| − | * 하이젠베르크 교환관계식을 만족시키는 self-adjoint 연산자 | + | * 하이젠베르크 교환관계식을 만족시키는 self-adjoint 연산자 <math>P,Q</math> |
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[P,Q] = -i \hbar I | [P,Q] = -i \hbar I | ||
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* 다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의 | * 다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의 | ||
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U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R} | U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R} | ||
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* 이 때, 다음과 같은 관계를 만족한다 ([[베이커-캠벨-하우스도르프 공식]]) | * 이 때, 다음과 같은 관계를 만족한다 ([[베이커-캠벨-하우스도르프 공식]]) | ||
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U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta), | U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta), | ||
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U(\alpha)V(\beta)=e^{i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha) | U(\alpha)V(\beta)=e^{i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha) | ||
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| − | * | + | * <math>U(\alpha)=e^{i\alpha P}</math>, <math>V(\beta)=e^{i\alpha Q}</math>, <math>\alpha,\beta\in \mathbb{R}</math>로 생성되는 복소수체 위의 대수를 바일 대수라 함 |
| − | * 적당한 completion을 거쳐 바일 | + | * 적당한 completion을 거쳐 바일 <math>C^{*}</math> 대수를 얻는다 |
==realization== | ==realization== | ||
| − | * | + | * <math>u,v</math>를 <math>x</math>를 변수로 갖는 함수집합에 작용하는 다음과 같은 연산자로 정의하자 |
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uf(x)& :=&xf(x) \\ | uf(x)& :=&xf(x) \\ | ||
vf(x)& :=&f(x/q) | vf(x)& :=&f(x/q) | ||
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| − | * | + | * <math>(uvf)(x)=x f(x/q)</math> |
| − | * | + | * <math>q(vuf)(x)=qv(xf(x))=q \left(x/q f(x/q)\right)=x f(x/q)</math> |
| − | * 따라서 | + | * 따라서 <math>uv=qvu</math> |
2020년 11월 16일 (월) 05:05 판
개요
- \(\mathbb{C}[q,q^{-1}]\) 위에서 u,v 로 생성되는 대수, \(uv=qvu\) 를 만족시킴
- q-이항계수 (가우스 다항식) 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨
- 양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)
q-이항계수
- 세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의\[yx=qxy,xq=qx,yq=qy\]
- 다음과 같은 전개를 얻는다\[(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\]
하이젠베르크 대수와의 관계
- 하이젠베르크 군과 대수
- 하이젠베르크 교환관계식을 만족시키는 self-adjoint 연산자 \(P,Q\)
\[ [P,Q] = -i \hbar I \]
- 다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의
\[ U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R} \]
- 이 때, 다음과 같은 관계를 만족한다 (베이커-캠벨-하우스도르프 공식)
\[ U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta), \] \[ V(\alpha)V(\beta)=V(\beta)V(\alpha)=V(\alpha+\beta) \] \[ U(\alpha)V(\beta)=e^{i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha) \]
- \(U(\alpha)=e^{i\alpha P}\), \(V(\beta)=e^{i\alpha Q}\), \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\)로 생성되는 복소수체 위의 대수를 바일 대수라 함
- 적당한 completion을 거쳐 바일 \(C^{*}\) 대수를 얻는다
realization
- \(u,v\)를 \(x\)를 변수로 갖는 함수집합에 작용하는 다음과 같은 연산자로 정의하자
\[ \begin{aligned} uf(x)& :=&xf(x) \\ vf(x)& :=&f(x/q) \end{aligned} \]
- \((uvf)(x)=x f(x/q)\)
- \(q(vuf)(x)=qv(xf(x))=q \left(x/q f(x/q)\right)=x f(x/q)\)
- 따라서 \(uv=qvu\)
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
관련논문
- Futorny, Vyacheslav, and Uma Iyer. “Representations of D_q(k [x]).” arXiv:1506.03601 [math], June 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.03601.
- Lopes, Samuel A., and João N. P. Lourenço. “A Multiparameter Family of Irreducible Representations of the Quantum Plane and of the Quantum Weyl Algebra.” arXiv:1407.6646 [math], July 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.6646.
- Kirkman, E., C. Procesi, and L. Small. 1994. “A Q-analog for the Virasoro Algebra.” Communications in Algebra 22 (10): 3755–3774. doi:10.1080/00927879408825052.
- Robinson, P. L. 1993. “The Structure of Exponential Weyl Algebras.” Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) 55 (03): 302–310. doi:10.1017/S1446788700034054.
- Jategaonkar, Vasanti A. 1984. “A Multiplicative Analog of the Weyl Algebra.” Communications in Algebra 12 (14): 1669–1688. doi:10.1080/00927878408823074.