"포드 원 (Ford Circles)"의 두 판 사이의 차이

2015년 11월 27일 (금) 20:19 판

개요

$p,q$가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 $(\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})$ 이고, 반지름이 $\frac{1}{2q^2}$인 원을 포드 원이라 함
- $y=0$에 접함

관찰

위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 $x$ 좌표이다.)

$p,q$가 서로소인 자연수들이니까, 원 중심의 $x$ 좌표들은 기약분수들이 되겠다.
서로 겹치는 두 Ford circle 은 없는 듯 하다.
접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
- $\frac35 , \frac23$ $\frac35 , \frac58$ $\frac58, \frac23$ $\frac58, \frac{7}{11}$ ...
- $10-9 = 25-24 = 16 - 15 = 56 - 55 = \cdots = 1$
서로 접하는 세 포드 원 사이에는?
- $\frac35, \frac58 , \frac23$ $\frac35, \frac{8}{13} , \frac58$ $\frac58, \frac{7}{11} , \frac23$ $\frac47, \frac{7}{12} , \frac35$
- 뭔가 발견했는가?

이제 Farey series 를 읽고 다시 돌아오자. (오른쪽 클릭 - 새 탭 열기/새 창 열기)

서로 접하는 세 원의 중심의 $x$ 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) Farey Series 를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가?

관찰의 증명

정리

두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.

증명

아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 $x$ 좌표가 $p/q$ 인 원이고, 원 B 는 중심의 $x$ 좌표가 $P/Q$ 인 원이다. ($p,q, P, Q$ 는 자연수, $gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1$)

위 그림에서, 점 $A$ 에서 선분 $\overline{BG}$ 위에 내린 발을 $C$ 라 하자. 그러면 삼각형 $\triangle ACB$ 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,

$\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2$ 이다. 포드 원의 정의에서 $A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )$ 이므로, 다음이 성립한다 $$ \overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2} $$

여기서,

i. $|Pq -pQ|> 1$ 이면, $\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}$ 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.

ii. $|Pq -pQ|= 1$ 이면, $\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}$ 이므로, 두 원은 접한다.

iii. $|Pq -pQ| <1$ 일 수는 없다.

왜냐하면, $p,q, P, Q$ 는 자연수이므로 $Pq -pQ = 0$ 이면, $p/q \ne P/Q$ 에 모순이기 때문이다.

위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다. ■

정리

$x$ 좌표가 $p/q$ 인 포드 원을 $C[p/q]$ 라고 쓰자. 두 포드 원 $C[b/a]$ 과 $C[d/c]$이 접하면, $|ad - bc| = 1$ 이 성립한다.

증명

관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다. ■

3. Farey Series 와의 관계

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circles

리뷰, 에세이, 강의노트

Ford_Circle.pdf, 애기똥풀
이광연, 바보셈에서 페리수열, 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일

@@ 42번째 줄: / 42번째 줄: @@
 ==관찰의 증명==
-# 서로 겹치는 두 포드 원은 없음.
+;정리
+두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.
-Proof.
+;증명
 아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>p/q</math> 인 원이고, 원 B 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>P/Q</math> 인 원이다. (<math>p,q, P, Q</math> 는 자연수, <math>gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1</math>)
@@ 51번째 줄: / 52번째 줄: @@
 위 그림에서, 점 <math>A</math> 에서 선분 <math>\overline{BG}</math> 위에 내린 발을 <math>C</math> 라 하자. 그러면 삼각형 <math>\triangle ACB</math> 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,
-<math>\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2</math> 이다. 포드 원의 정의에서 <math>A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )</math> 이므로, 각 변의 길이를 구해서 정리하면 <math>\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}</math> 를 얻는다. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28P%2FQ+-+p%2Fq%29%5E2+%2B+%281%2F%282+Q%5E2%29+-+1%2F%282+q%5E2%29%29%5E2+-+%281%2F%282+q%5E2%29+%2B+1%2F%282+Q%5E2%29%29%5E2+%2F%2F+FullSimplify )
+<math>\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2</math> 이다. 포드 원의 정의에서 <math>A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )</math> 이므로, 다음이 성립한다
+$$
+\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}
+$$
 여기서,
@@ 60번째 줄: / 63번째 줄: @@
 i.  <math>|Pq -pQ|> 1</math> 이면, <math>\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.
-ii.  <math>|Pq -pQ|= 1</math> 이면, <math>\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 접한다. (10-나 과정의 '두 원의 위치 관계' 참조)
+ii.  <math>|Pq -pQ|= 1</math> 이면, <math>\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 접한다.
 iii. <math>|Pq -pQ| <1</math> 일 수는 없다.
@@ 66번째 줄: / 69번째 줄: @@
 왜냐하면, <math>p,q, P, Q</math> 는 자연수이므로 <math>Pq -pQ = 0</math> 이면, <math>p/q \ne P/Q</math> 에 모순이기 때문이다.
-위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다.
+위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다. ■
-. 접하는 두 포드 원 사이의 관계
-<math>x</math> 좌표가 <math>p/q</math> 인 포드 원을 <math>C[p/q]</math> 라고 쓰자.
-접하는 두 포드 원 <math>C[b/a]</math> 과 <math>C[d/c]</math> 가 있으면, <math>|ad - bc| = 1</math> 이다.
+;정리
+<math>x</math> 좌표가 <math>p/q</math> 인 포드 원을 <math>C[p/q]</math> 라고 쓰자. 두 포드 원 <math>C[b/a]</math> 과 <math>C[d/c]</math>이 접하면, <math>|ad - bc| = 1</math> 이 성립한다.
-Proof.
+;증명
-관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다.
+관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다.  ■
 . Farey Series 와의 관계

"포드 원 (Ford Circles)"의 두 판 사이의 차이

2015년 11월 27일 (금) 20:19 판

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