리만 제타 함수

간단한 소개

• 리만 제타 함수는 정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수.
  \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}, \Re s >1\)
  
• 위의 복소함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
• 그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
• 리만가설은 리만제타함수의 해에 관련된 미해결문제.

 

해석적확장 (analytic continuation)

• 자코비의 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.

\(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)\)

• 감마함수
  \(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)  
  를 이용하면, 
  \(\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}\) 
  
• 형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.

\(\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

• 그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같은 수정이 필요.
• 자코비 세타함수의 성질을 이용하여, 모든 s에 대하여 정의된 적분을 쓰면,

\(\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

를 얻게 됨.

 

리만제타함수의 함수방정식

• 리만제타함수는 \(s=\frac{1}{2}\) 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.
  \(\xi(s) = \xi(1 - s)\)
  \(\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\)
  

(증명)

자코비 세타함수 의 성질을 사용한다.

\(\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy)\) 와 \(t=\frac{1}{y}\) 를 이용하여 치환적분을 하면, 다음 식을 얻는다.

\(\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}\)

\(\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

이 식에서 

함수방정식은 위의 식을 통해 알 수 있음. (증명끝)

 

복소함수로서의 리만제타함수

• meromorphic function
• 1에서 pole 을 가짐
  \(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1)^2)\)
  

 

 

 

 

메모

• analytic continuation     해석적 접속
• continuation     연속
• continuation method     연속법
• direct analytic continuation     직접해석접속

 

 

하위페이지

• 리만제타함수와 리만가설
  
  • 리만 제타 함수
    
  • 모든 자연수의 곱과 리만제타함수
    
  • 모든 자연수의 합과 리만제타함수
    
  • 소수와 리만제타함수
    

 

 

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관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 복소함수론
  
  • 해석적연속
• 해석적정수론

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 세타함수
• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)

 

표준적인 도서 및 추천도서

• Riemann's Zeta Function
  
  • Harold M. Edwards

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
• http://ko.wikipedia.org/wiki/리만제타함수

 

참고할만한 자료

• Riemann's zeta function
  
  • Williams, Floyd
  • June 16, 2008
  • MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
  • 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
• 피타고라스의 창
  
  • 리만의 제타함수 (1)
  • 리만의 제타함수 (2) : 수의 체계
  • 리만의 제타함수 (3) : 실수란 무엇인가
  • 리만의 제타함수 (4) : 지수법칙
  • 리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장
  • 리만의 제타함수 (6) : 자연상수
  • 리만의 제타함수 (7) : 오일러의 공식 - 박사가 사랑한 수식
  • 리만의 제타함수 (8) : 소수는 무한히 많다(i)
  • 리만의 제타함수 (9) : 소수는 무한히 많다(ii)