"모듈라 군, j-invariant and the singular moduli"의 두 판 사이의 차이

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<h5>정의</h5>
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* [[타원적분(통합됨)|타원적분]] , [[자코비 세타함수]], [[라마누잔의 class invariants]],  참조<br><math>q=e^{2\pi i \tau}</math><br><math>\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}</math><br><math>\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}</math><br>
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<math>\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}</math>
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* 위의 함수들을 이용하여, 양수 <math>r</math>에 대하여 다음을 정의
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* [[타원적분|타원적분, 타원함수, 타원곡선]]
 
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* [[국제 수학자 대회와 필즈메달|국제 수학자 대회]]
 
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|AGM과 파이값의 계산]]
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<h5>참고할만한 자료</h5>
 
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* [http://www.math.lsu.edu/%7Everrill/fundomain/ Fundamental Domain drawer]<br>
 
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** Java applet
 
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** Roger C. Alperin, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 106, No. 8 (Oct., 1999), pp. 771-773
 
** Roger C. Alperin, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 106, No. 8 (Oct., 1999), pp. 771-773
 
* [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262662 On singular moduli.]<br>
 
* [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262662 On singular moduli.]<br>
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** Gross, B.H.; Zagier, Don B, J. Rcinc Angew. Math. 355, 191-220
 
** Gross, B.H.; Zagier, Don B, J. Rcinc Angew. Math. 355, 191-220

2009년 11월 17일 (화) 11:10 판

간단한 소개

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\)

\(J(\tau)=\frac{4}{27}\frac{(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2(1-\lambda)^2}\)

\(j(\tau)=1728J(\tau)\)

 

  • \(\lambda(\tau)=k^2(\tau)\) 는 modulus라고 불렸으며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
    • \(\Gamma(2)\)에 의해 불변임
    • 기본적인 내용은 [AHL1979] 7.3.4를 참고
  • 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 \(j\)-불변량에 그 자리를 내줌

 

 

메모

\(\lambda(i)=k^2(i)=\frac{1}{2}\)

 

일종타원적분 K

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

\(\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1\)

\(\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}\)

\(\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\)

\(\frac{K'}{K}\left(3-2\sqrt{2}}\right)= \sqrt{4}\)

 

 

정의

\(\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}\)

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

\(E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}d\theta}{\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(K'(k) = K(k')\)

\(E'(k) = E(k')\)

  • 위의 함수들을 이용하여, 양수 \(r\)에 대하여 다음을 정의

\(\lambda^{*}(r):=k(i\sqrt{r})\)

 

 

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관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

표준적인 도서 및 추천도서
  • Discontinuous Groups and Automorphic Functions
    • Joseph Lehner
  • [AHL1979]Complex Analysis
    • Lars Ahlfors, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979

 

위키링크

 

 

참고할만한 자료
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