방정식과 대칭성 : 치환군

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• 방정식과 대칭성

 

 

개요

• 군이란 어떤 불변성을 가진 대상에 대한 ‘변화’들의 모임을 말한다
  
  • 군론에 대해서는 고교생도 이해할 수 있는 군론 입문  항목을 참조
• 군에 의하여 방정식의 해들은 그 내부에서 서로 바뀐지만 해가 만족시키는 방정식은 변하지 않는다.
• 이것이 바로 ‘변화속의불변’ – 대칭성이다.
• \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}\)의 경우 \(\sigma\)는 복소수체의 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 변화시키지 않음.
  
  • \(\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i\)에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음
    
• 갈루아 이론 은 5차방정식과 근의 공식 문제를 풀기 위해 방정식의 해가 가지는 대칭성에 대한 연구로부터 시작되었다
  
  • 5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론

 

 

켤레복소수의 예

실계수 방정식 \(x^2+1=0\) 에 대하여 생각해보자. 이 방정식은 실수 내에서는 해를 가지지 않으며, 해를 얻기 위해서는 허수라는 것을 실수에 집어넣어 실수를 복소수로 확장하는 작업이 필요하다. (유식한 말을 약간 사용하자면, 복소수체 \(\mathbb{C}\) 는 실수체 \(\mathbb{R}\)의 체확장이라 한다)  이 방정식은 복소수 내에서 두 개의 해 \(\{i,-i\}\)를 가진다.

 

이제 켤레복소수에 대해 생각해볼 차례이다. 복소수 \(\alpha+\beta i\) (\(\alpha, \beta\)는 실수) 에 대하여 복소수 \(\alpha-\beta i\)를 켤레복소수라 한다. \(\alpha+\beta i\)의 켤레복소수를 취하여 \(\alpha-\beta i\)를 얻는데, 여기서 또한번 켤레복소수를 취하면 다시 \(\alpha+\beta i\) 를 얻게 된다. 복소수를 켤레복소수로 보내는 함수를  \(\sigma(z)=\bar{z}\) 라고 표현한다면, \(\sigma^2(z)=\bar{\bar{z}}=z\)가 된다. 이를 간략하게 쓰자면 \(\sigma^2=\operatorname{id}\) , 즉 켤레복소수를 취하는 것을 함수로 보아 자기자신과 합성을 하면 항등함수를 얻게 된다는 것이다.

 

여기서 원소 두 개짜리 군 \(\{\operatorname{id}, \sigma}\}\) 을 얻는다. 이를 유식하게는\(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}\) 라고 하지만, 차차 알아가도록 하자.

 

지금 방정식 \(x^2+1=0\)과 그 해집합 \(\{i,-i\}\) 그리고 복소수를 복소수로 보내주는 두 함수, 항등함수와 켤레복소수 함수로 만들어진 군 \(\{\operatorname{id}, \sigma}\}\)가 있다.

 

켤레복소수에 의하면,  \(\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i\)에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 해가 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있다.

 

군에 의하여 방정식의 해들은 그 내부에서 서로 바뀐다. 그러나 그 둘이 만족시키는 방정식 \(x^2+1=0\) 은 변하지 않는다. 이것이 바로 ‘변화속의불변’ – 대칭성이다. 한 방정식의 모든 해는 서로 변해도, 그들은 모두 여전히 같은 방정식을 만족시킨다.