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* 열의 전달을 기술하는 편미분방정식<br><math>\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0</math><br> | * 열의 전달을 기술하는 편미분방정식<br><math>\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0</math><br> | ||
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* 일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현<br><math>\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u</math><br> | * 일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현<br><math>\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u</math><br> | ||
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">자코비세타함수와 열방정식</h5> | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">자코비세타함수와 열방정식</h5> | ||
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| + | * 유한한 길이의 막대에서의 경계-초기값 문제<br><math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t</math><br><math>\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy</math><br> | ||
| + | * <math>L=1,\beta=1/2\pi</math> 로 두자.<br><math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}</math><br> <br><math>\hat{f}(n)=\int_{0}^{1}f(y)e^{-2\pi i ny}\,dy</math><br> | ||
| + | * 위의 두 식을 함께 쓰면,<br><math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}=\int_{0}^{1}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(y)e^{-2\pi i ny}\,dye^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t} </math><br> | ||
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2010년 12월 29일 (수) 07:37 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 열의 전달을 기술하는 편미분방정식
\(\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0\) - 일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현
\(\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u\)
유한한 길이의 막대에서의 경계-초기 조건 문제 : 변수분리를 통한 해
- 경계조건 (양 끝점의 온도는 고정)
\( t>0\) 일 때, \(u(0,t)=u(L,t)\) - 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포
\(u(x,0)=f(x)\)
\(u(x,t)=X(x)T(t)\)로 두자.
변수분리를 사용하자.
\(X''(x)=K_{n}X(x)\)
\(T'(t)=\beta K_{n}T(t)\)
여기서 \(K_{n}=-(\frac{2\pi}{L})^2n^2\), \(n=0, \pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots\)
\(X_n(x)=Ae^{ \frac{2\pi i n}{L}}+Be^{- \frac{2\pi i n}{L}}\)
\(T_n(t)=e^{\beta K_{n} t}=e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t}\)
따라서 열방정식의 해는 \(u_{n}(x,t)=e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t\) 의 선형결합으로 나타낼 수 있다.
\(u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t\)
여기서
\(\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy\) 는 푸리에 급수
자코비세타함수와 열방정식
- 유한한 길이의 막대에서의 경계-초기값 문제
\(u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t\)
\(\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy\) - \(L=1,\beta=1/2\pi\) 로 두자.
\(u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}\)
\(\hat{f}(n)=\int_{0}^{1}f(y)e^{-2\pi i ny}\,dy\) - 위의 두 식을 함께 쓰면,
\(u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}=\int_{0}^{1}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(y)e^{-2\pi i ny}\,dye^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t} \)
\(\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)\)
\(\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)\)
가우시안 Heat kernel
- 무한한 길이의 막대를 가정 \(-\infty<x<\infty\)
- 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포
\(u(x,0)=f(x)\) - \(N(\mu,\sigma^2)\) 인 정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다 (정규분포와 그 확률밀도함수)
\(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\) - heat kernel
\(K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \beta t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\beta t}\right)\) - heat kernel 을 이용한 열방정식의 해
\(u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4\beta t}\right)\,dy\) - 확률론적 이해 \[\beta=1/2\] 인 경우
\(u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=E[f(X_t)]\)
여기서 \(X_t\)는 \(N(x,t)\)를 따르는 확률변수
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/열방정식
- http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation
- http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_kernel
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Narasimhan, T. N. (1999), Fourier's heat conduction equation: History, influence, and connections, Rev. Geophys., 37(1), 151–172, doi:10.1029/1998RG900006
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/10.1029/1998RG900006
관련도서
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