"오일러 토션트 함수"의 두 판 사이의 차이

2009년 11월 28일 (토) 11:58 판

서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)
소수 \(p\) 에 대하여, \(\varphi(p^{k}) = (p - 1)p^{k - 1}\)
\(\phi (1) = 1\)
일반적으로, 2 이상의 자연수 n 을 \(p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_n ^{\alpha _n} \) 으로 소인수분해시, \(\phi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_n ^{\alpha _n - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_n - 1) \) 이 된다.

원분체 (cyclotomic field) \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)
\([\mathbb Q(\zeta_n): \mathbb Q)] = \varphi(n)\)
갈루아군은 \(\text{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n) /\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)를 만족하며, 그 크기는 \(\varphi(n)\) 이 됨.

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-<h5>응용</h5>
+<h5>합동식에의 응용</h5>
 * 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수로 구성된 집합은 곱셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
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-<h5>원분체의 갈루아군</h5>
+<h5>원분체</h5>
-* [[원분체 (cyclotomic field)]]의 갈루아군은 <math>\text{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n) /\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>를 만족
+* [[원분체 (cyclotomic field)]]  <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>
-*
+* <math>[\mathbb Q(\zeta_n): \mathbb Q)] = \varphi(n)</math>
+* 갈루아군은 <math>\text{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n) /\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>를 만족하며, 그 크기는 <math>\varphi(n)</math> 이 됨.