오일러 토션트 함수

수학노트
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정의

  • 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 나타내는 함수
  • \(\varphi(n)\) 으로 나타냄


성질

  • 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)
  • 소수 \(p\) 에 대하여, \(\varphi(p^{k}) = (p - 1)p^{k - 1}\)
  • \(\varphi (1) = 1\)
  • 일반적으로, 2 이상의 자연수 n의 소인수분해가 \(n=p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_k ^{\alpha _k}\) 으로 주어지면, \(\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_k ^{\alpha _k - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_k - 1) \) 이 된다.



합동식에의 응용

  • 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수로 구성된 집합은 곱셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
  • 이 군을 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 로 표현하며, 원소의 개수는 \(\varphi(n)\) 이 됨.



원분체

  • 원분체 (cyclotomic field) \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)
  • \([\mathbb Q(\zeta_n): \mathbb Q)] = \varphi(n)\)
  • 갈루아군은 \(\text{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n) /\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)를 만족하며, 그 크기는 \(\varphi(n)\) 이 됨.



100까지의 자연수에 대한 totient 함수값 목록

\(n\) \(\varphi(n)\)

1 1 2 1 3 2 4 2 5 4 6 2 7 6 8 4 9 6 10 4 11 10 12 4 13 12 14 6 15 8 16 8 17 16 18 6 19 18 20 8 21 12 22 10 23 22 24 8 25 20 26 12 27 18 28 12 29 28 30 8 31 30 32 16 33 20 34 16 35 24 36 12 37 36 38 18 39 24 40 16 41 40 42 12 43 42 44 20 45 24 46 22 47 46 48 16 49 42 50 20 51 32 52 24 53 52 54 18 55 40 56 24 57 36 58 28 59 58 60 16 61 60 62 30 63 36 64 32 65 48 66 20 67 66 68 32 69 44 70 24 71 70 72 24 73 72 74 36 75 40 76 36 77 60 78 24 79 78 80 32 81 54 82 40 83 82 84 24 85 64 86 42 87 56 88 40 89 88 90 24 91 72 92 44 93 60 94 46 95 72 96 32 97 96 98 42 99 60 100 40




역사




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  • [{'LOWER': 'euler'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'totient'}, {'LEMMA': 'function'}]
  • [{'LOWER': 'phi'}, {'LEMMA': 'Function'}]
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