"원주율(파이,π)"의 두 판 사이의 차이
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* 1593년 François Viète에 의해 발견된 [[비에타의 공식]] | * 1593년 François Viète에 의해 발견된 [[비에타의 공식]] | ||
* 원주율의 무한곱 표현<br><math>\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots</math><br> | * 원주율의 무한곱 표현<br><math>\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots</math><br> | ||
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* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]<br><math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math><br> | * [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]<br><math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math><br> | ||
* 더 일반적으로 [[정수에서의 리만제타함수의 값]]은 다음과 같이 주어진다<br><math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>여기서 <math>B_{2n}</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]].<br> | * 더 일반적으로 [[정수에서의 리만제타함수의 값]]은 다음과 같이 주어진다<br><math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>여기서 <math>B_{2n}</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]].<br> | ||
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* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]] | * [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]] | ||
| + | * [[너드의 길]]<br> | ||
| + | * [[라마누잔과 파이]]<br> | ||
| + | * [[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]]<br><br><br> | ||
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| + | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8 http://ko.wikipedia.org/wiki/원주율] | ||
| + | * http://en.wikipedia.org/wiki/ | ||
| + | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
| + | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> | ||
| + | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
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2010년 3월 15일 (월) 05:55 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 파이는 원의 둘레와 지름의 비율
- 모든 원은 서로 닮음이므로, 비율은 상수가 됨.
[/pages/2519130/attachments/1333536 circle_diagram1.jpg]
- 3.141592...
아르키메데스의 부등식
- 223/71 < π < 22/7
비에타의 공식
- 1593년 François Viète에 의해 발견된 비에타의 공식
- 원주율의 무한곱 표현
\(\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots\)
급수표현
- 1680년경에 발견된 라이프니츠 급수
\(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)
마친의 공식
- 1706년 발견된 마친(Machin)의 공식
\(\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\)
오일러와 파이
- [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0]]
\(e^{i \pi} +1 = 0\) - 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
\(\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}\) - 더 일반적으로 정수에서의 리만제타함수의 값은 다음과 같이 주어진다
\(\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\)여기서 \(B_{2n}\)은 베르누이수.
산술기하평균함수와 파이
라마누잔의 공식
- 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표
\(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\) - 윌리엄 고스퍼는 1985년에 파이값의 천7백만자리를 계산하기 위해 이 공식을 사용
- 라마누잔과 파이
파이와 2파이
- 수학의 많은 공식에서는 \(\pi\)가 아닌 \(2\pi\)가 자연스럽게 등장
- 파이가 아니라 2파이다?
메모
하위페이지
관련된 항목들
- [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|오일러의 공식]]
- 리만제타함수와 리만가설
- 파이(영화)
- 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
- 너드의 길
- 라마누잔과 파이
- 삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/원주율
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- The Quest for Pi.
- David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein and Simon Plouffe.
- June 25, 1996. Ref: Mathematical Intelligencer, vol. 19, no. 1 (Jan. 1997), pg. 50–57
- The Life of Pi: From Archimedes to ENIAC and Beyond (2004).
- Borwein, Jonathan
관련도서 및 추천도서
- Pi-unleashed
- Jörg Arndt, Christoph Haenel, C. Lischka, D. Lischka, Springer
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 3.14159 … 3월 14일은 ‘π데이’
- 박방주, 중앙일보, 2010-3-12
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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