"정규 분포"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
| 66번째 줄: | 66번째 줄: | ||
** [[드무아브르-라플라스 중심극한정리]] 의 유도는 해당 항목을 참조. | ** [[드무아브르-라플라스 중심극한정리]] 의 유도는 해당 항목을 참조. | ||
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <h5>메모</h5> | ||
| + | |||
| + | * http://navercast.naver.com/science/math/2784 | ||
| 110번째 줄: | 118번째 줄: | ||
<h5>관련도서 및 추천도서</h5> | <h5>관련도서 및 추천도서</h5> | ||
| − | * History of the Central Limit Theorem : From Laplace to Donsker | + | * History of the Central Limit Theorem : From Laplace to Donsker<br> |
| − | + | ** Fischer, Hans | |
| − | * Fischer, Hans | ||
| − | |||
* [http://www.amazon.com/History-Statistics-Measurement-Uncertainty-before/dp/067440341X/ref=sr_1_7?ie=UTF8&s=books&qid=1246720061&sr=1-7 The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900] | * [http://www.amazon.com/History-Statistics-Measurement-Uncertainty-before/dp/067440341X/ref=sr_1_7?ie=UTF8&s=books&qid=1246720061&sr=1-7 The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900] | ||
| + | * Excursions in calculus<br> | ||
| + | ** 206~216p, [[1950958/attachments/870482|The law of errors]] (pdf) | ||
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
| 132번째 줄: | 140번째 줄: | ||
** 자바애플릿 | ** 자바애플릿 | ||
* [http://biomet.oxfordjournals.org/cgi/reprint/16/3-4/402.pdf [Historical Note on the Origin of the Normal Carve of Errors BY KARL PEARSON]] | * [http://biomet.oxfordjournals.org/cgi/reprint/16/3-4/402.pdf [Historical Note on the Origin of the Normal Carve of Errors BY KARL PEARSON]] | ||
| − | |||
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A4%91%EC%8B%AC%EA%B7%B9%ED%95%9C%EC%A0%95%EB%A6%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/중심극한정리] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A4%91%EC%8B%AC%EA%B7%B9%ED%95%9C%EC%A0%95%EB%A6%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/중심극한정리] | ||
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EA%B7%9C%EB%B6%84%ED%8F%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/정규분포] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EA%B7%9C%EB%B6%84%ED%8F%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/정규분포] | ||
2010년 5월 25일 (화) 04:00 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 고딩과정의 통계에서는 정규분포의 기본적인 성질과 정규분포표 읽는 방법을 배움.
- 평균이 \(\mu\), 표준편차가 \(\sigma\)인 정규분포의 \(N(\mu,\sigma^2)\)의 확률밀도함수, 즉 가우시안은 다음과 같음이 알려져 있음.
\(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\) - 아래에서는 이 확률밀도함수가 어떻게 해서 얻어지는가를 보임.(기본적으로는 가우스의 증명)
- 가우시안의 형태를 얻는 또다른 방법으로 드무아브르-라플라스 중심극한정리 를 참조.
'오차의 법칙'을 통한 가우시안의 유도
- 오차 = 관측하려는 실제값 - 관측에서 얻어지는 값
- 오차의 분포를 기술하는 확률밀도함수 \(\Phi\)는 다음과 같은 성질을 만족시켜야 함.
1) \(\Phi(x)=\Phi(-x)\)
2)작은 오차가 큰 오차보다 더 나타날 확률이 커야한다. 그리고 매우 큰 오차는 나타날 확률이 매우 작아야 한다.
3) \(\int_{-\infty}^{\infty} \Phi(x)\,dx=1\)
4) 관측하려는 실제값이 \(\mu\) 이고, n 번의 관측을 통해 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) 을 얻을 확률 \(\Phi(\mu-x_1)\Phi(\mu-x_2)\cdots\Phi(\mu-x_n)\)의 최대값은 \(\mu=\frac{x_1+x_2+ \cdots+ x_n}{n}\)에서 얻어진다. - 4번 조건을 가우스의 산술평균의 법칙이라 부르며, 관측에 있어 실제값이 될 개연성이 가장 높은 값은 관측된 값들의 산술평균이라는 가정을 하는 것임.
(정리) 가우스
이 조건들을 만족시키는 확률밀도함수는 \(\Phi(x)=\frac{h}{\sqrt{\pi}}e^{-h^2x^2}\) 형태로 주어진다. 여기서 \(h\)는 확률의 정확도와 관련된 값임. (실제로는 표준편차와 연관되는 값)
(증명)
\(n=3\)인 경우에 4번 조건을 만족시키는 함수를 찾아보자.
\(\Phi(x-x_1)\Phi(x-x_2)\Phi(x-x_3)\)의 최대값은 \(x=\frac{x_1+x_2+ x_3}{3}\) 에서 얻어진다.
따라서 \(\ln \Phi(x-x_1)\Phi(x-x_2)\Phi(x-x_3)\) 의 최대값도 \(x=\frac{x_1+x_2+ x_3}{3}\) 에서 얻어진다.
미분적분학의 결과에 의해, \(x=\frac{x_1+x_2+ x_3}{3}\) 이면, \(\frac{\Phi'(x-x_1)}{\Phi(x-x_1)}+\frac{\Phi'(x-x_2)}{\Phi(x-x_2)}+\frac{\Phi'(x-x_3)}{\Phi(x-x_3)}=0\) 이어야 한다.
\(F(x)=\frac{\Phi'(x)}{\Phi(x)}\) 으로 두자.
\(x+y+z=0\) 이면, \(F(x)+F(y)+F(z)=0\) 이어야 한다.
1번 조건에 의해, \(F\) 는 기함수이다.
따라서 모든 \(x,y\) 에 의해서, \(F(x+y)=F(x)+F(y)\) 가 성립한다. 그러므로 \(F(x)=Ax\) 형태로 쓸수 있다.
이제 적당한 상수 \(B, h\) 에 의해 \(\Phi(x)=Be^{-h^2x^2}\) 꼴로 쓸 수 있다.
모든 \(n\)에 대하여 4번조건이 만족됨은 쉽게 확인할 수 있다. (증명끝)
역사
- 중심극한정리는 여러 과정을 거쳐 발전
- 이항분포의 중심극한 정리
- 라플라스의 19세기 초기 버전
- 라플라스의 19세기 초기 버전
확률변수 X가 이항분포 B(n,p)를 따를 때, n이 충분히 크면 X의 분포는 근사적으로 정규분포 N(np,npq)를 따른다
- 드무아브르가 18세기에 발견한 것은 이항분포에서 확률이 1/2인 경우
- 드무아브르-라플라스 중심극한정리 의 유도는 해당 항목을 참조.
- 수학사연표
메모
재미있는 사실
- 정규분포와 중심극한정리에 대한 이해는 교양인이 알아야 할 수학 주제의 하나나
- Galton's quincunx
- 정규분포의 밀도함수 형태를 물리적으로 얻을 수 있는 장치.
[[Media:|]]
- 예전 독일 마르크화에는 가우스의 발견을 기려 정규분포곡선이 새겨짐
[/pages/1950958/attachments/1448292 Gauss-detail2.jpg]
많이 나오는 질문과 답변
- 네이버 지식인
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 다른 주제들
관련도서 및 추천도서
- History of the Central Limit Theorem : From Laplace to Donsker
- Fischer, Hans
- The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900
- Excursions in calculus
- 206~216p, The law of errors (pdf)
- 도서내검색
- 도서검색
사전형태의 자료
- 동전던지기 시뮬레이션
- 자바애플릿
- [Historical Note on the Origin of the Normal Carve of Errors BY KARL PEARSON]
- http://ko.wikipedia.org/wiki/중심극한정리
- http://ko.wikipedia.org/wiki/정규분포
- http://en.wikipedia.org/wiki/normal_distribution
- http://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem
- http://viswiki.com/en/central_limit_theorem
- 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=오차의법칙
- 대한수학회 수학 학술 용어집
관련기사
- 과학자들의 진실게임 - 그 법칙은 내꺼야!
- 과학에서 최초의 발견자와 크레딧 논쟁 사례
- 한겨레, 2008-10-10
- 과학에서 최초의 발견자와 크레딧 논쟁 사례
- [재미있는 과학이야기 통계의 기본원리 ② 가우스 분포]
- 주간한국, 2008-01-07
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=정규분포
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
블로그
- 피타고라스의 창
- 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
- 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
이미지 검색
- http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=galton_quincunx
- http://images.google.com/images?q=galton+quincunx