"정수에서의 리만제타함수의 값"의 두 판 사이의 차이
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=residue | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=residue | ||
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* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학] | * [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학] | ||
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2009년 11월 15일 (일) 05:43 판
간단한 소개
- 홀수인 자연수를 제외한 모든 정수에 대하여 리만제타함수의 값은 닫힌 형태로 알려져 있음.
\(\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\)여기서 \(B_{2n}\)은 베르누이수.
\(\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}, n \ge 1\)
\(\zeta(0)=-\frac{1}{2}\)
증명
\(\zeta(4)\) 를 구하는 방법을 통해서 일반적인 경우의 증명도 알 수 있다. \(\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz\)
\(C_{R}\)는 원점을 중심으로 반지금이\(R\) 인 원
이때 \(R\)이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.
유수정리를 사용하자.
0이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(z\approx k\) 이면, \(\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}\)
한편\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}\)의 0이 아닌 정수 \(k\)에서의 유수(residue)는 \(\frac{1}{k^{4}}\)로 주어진다.
\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)(코탄젠트 참조)
를 이용하면 0 에서의 유수는 \(-\pi^{4}/45\) 임을 알 수 있다.
그러므로 모든 유수의 합은 \(-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0\)따라서 \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\)
일반적인 자연수 \(n\) 에 대하여도 마찬가지 방법으로
\(2\zeta(2n)+\frac{(-1)^n 2^{2n}B_{2n}\pi^{2n}}{(2n)!}=0\)
\(\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\)
을 얻는다.
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