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* 한 변의 길이가 1인 정칠각형의 대각선의 길이는 다음과 같이 주어짐<br><math>r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}}</math> , <math>i=0,1,\cdots,5</math><br> 여기서 <math>r_0=1</math>, <math>r_5=1</math><br>[/pages/6782509/attachments/4290397 heptagon.png]<br> | * 한 변의 길이가 1인 정칠각형의 대각선의 길이는 다음과 같이 주어짐<br><math>r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}}</math> , <math>i=0,1,\cdots,5</math><br> 여기서 <math>r_0=1</math>, <math>r_5=1</math><br>[/pages/6782509/attachments/4290397 heptagon.png]<br> | ||
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* [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]<br><math>\alpha=\frac{\sec\frac{2\pi}{7}}{2}=0.80194\cdots</math><br><math>\beta=\frac{\sec\frac{\pi}{7}}{2}=0.554958\cdots</math><br><math>\gamma=2\cos\frac{3\pi}{7}=0.445042\cdots</math><br><math>7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0</math><br><math>7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0</math><br><math>7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0</math><br><math>\sum_{i=1}^{5}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{7}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{7}}})=\frac{5\pi^2}{14}</math><br> | * [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]<br><math>\alpha=\frac{\sec\frac{2\pi}{7}}{2}=0.80194\cdots</math><br><math>\beta=\frac{\sec\frac{\pi}{7}}{2}=0.554958\cdots</math><br><math>\gamma=2\cos\frac{3\pi}{7}=0.445042\cdots</math><br><math>7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0</math><br><math>7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0</math><br><math>7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0</math><br><math>\sum_{i=1}^{5}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{7}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{7}}})=\frac{5\pi^2}{14}</math><br> | ||
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B9%A0%EA%B0%81%ED%98%95 http://ko.wikipedia.org/wiki/칠각형] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B9%A0%EA%B0%81%ED%98%95 http://ko.wikipedia.org/wiki/칠각형] | ||
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* [http://www.ams.org/bull/2005-42-02/S0273-0979-05-01047-5/home.html#References Continued fractions and modular functions]<br> | * [http://www.ams.org/bull/2005-42-02/S0273-0979-05-01047-5/home.html#References Continued fractions and modular functions]<br> | ||
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2012년 11월 1일 (목) 02:36 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
==정칠각형 꼭지점의 평면좌표
- 정칠각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
- 방정식 \(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0\)
은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
- 양변을 \(z^3\)으로 나누면, \(z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=0\) 을 얻게됨.
\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.
\(z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=(z+\frac{1}{z})^3+(z+\frac{1}{z})^2-2(z+\frac{1}{z})-1=y^3+y^2-2y-1=0\)
방정식을 풀면,
\(y^3+y^2-2y-1=0\)3차 방정식의 근의 공식
\(y_1= -\frac{1}{3}+\frac{7^{2/3}}{3 \left(\frac{1}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}}+\frac{1}{3} \left(\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}\right\}(=2\cos\frac{2\pi}{7})\)
\(y_2=-\frac{1}{3}-\frac{\left(\frac{7}{2}\right)^{2/3} \left(1-i \sqrt{3}\right)}{3 \left(1+3 i \sqrt{3}\right)^{1/3}}-\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \left(\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}(=2\cos\frac{4\pi}{7})\)
\(y_3=-\frac{1}{3}-\frac{\left(\frac{7}{2}\right)^{2/3} \left(1+i \sqrt{3}\right)}{3 \left(1+3 i \sqrt{3}\right)^{1/3}}-\frac{1}{6} \left(1-i \sqrt{3}\right) \left(\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}\right\}(=2\cos\frac{6\pi}{7})\)
\(z^2-yz+1=0\)
\(z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\)
을 얻게 됨.
- 복소평면상에서 \(z\) 의 \(x\) 좌표는 로 주어짐.
==정칠각형의 대각선의 길이
- 한 변의 길이가 1인 정칠각형의 대각선의 길이는 다음과 같이 주어짐
\(r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}}\) , \(i=0,1,\cdots,5\)
여기서 \(r_0=1\), \(r_5=1\)
[/pages/6782509/attachments/4290397 heptagon.png] - 제2종 체비셰프 다항식
- 대각선이 만족시키는 다양한 항등식
\(r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}, 0\leq k\leq h\leq 2\)
\(r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq 4\)
\(r_0r_0=r_0\)
\(r_1r_0=r_1\)
\(r_1r_1=r_0+r_2\)
\(r_2r_0=r_2\)
\(r_2r_1=r_1+r_3\)
\(r_2r_2=r_0+r_2+r_4\)
- \(r_1\)은 \(x^3-x^2-2x+1=0\) 의 해이다 http://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28sin%282pi%2F7%29%2Fsin%28pi%2F7%29%29
(증명)
\(r_1r_1=r_0+r_2\)
\(r_2r_1=r_1+r_3=r_1+r_2\)■
- \(r_2\)은 \(x^3-2x^2-x+1=0\) 의 해이다 http://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28sin%283pi%2F7%29%2Fsin%28pi%2F7%29%29
(증명)
\(r_1r_1=r_0+r_2\)
\(r_2r_2=r_0+r_2+r_4=r_0+r_2+r_1\) ■
==다이로그 항등식
- 다이로그 항등식 (dilogarithm identities)
\(\alpha=\frac{\sec\frac{2\pi}{7}}{2}=0.80194\cdots\)
\(\beta=\frac{\sec\frac{\pi}{7}}{2}=0.554958\cdots\)
\(\gamma=2\cos\frac{3\pi}{7}=0.445042\cdots\)
\(7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0\)
\(7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0\)
\(7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0\)
\(\sum_{i=1}^{5}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{7}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{7}}})=\frac{5\pi^2}{14}\)
- 방정식 \(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해 \(\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\)
- 방정식 \(x^3+x^2-2x-1=0\)의 해 \(a,b,c\)
\(a=2\cos\frac{2\pi}{7}=\alpha^{-1}=1.24698\cdots\), \(b=2\cos\frac{4\pi}{7}=-\gamma=-0.445042\cdots\),\(c=2\cos\frac{6\pi}{7}=-\beta^{-1}=-1.80194\cdots\)
- k=3인 경우의 앤드류스-고든 항등식(Andrews-Gordon identity)
\(1-x_{1}=x_{1}^{4}x_{2}^{2}\)
\(1-x_{2}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}\)를 풀면,
\(x_{2}=1-\frac{1-x_{1}}{x_{1}^{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{1}-1}{x_{1}^{2}}\)
\(1-x_{1}=(x_{1}^{2}+x_{1}-1)^{2}\) 따라서 \(x_1\)은 \(x (x^3+2 x^2-x-1)=0\)의 해가 된다
==재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
==역사
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
- Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
- Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
- 수학사연표
==메모
==관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
==사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/칠각형
- http://en.wikipedia.org/wiki/Heptagon
- http://www.proofwiki.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
==관련논문
- Continued fractions and modular functions
- W. Duke, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162
- Golden Fields: A Case for the Heptagon
- Peter Steinbach, Mathematics Magazine Vol. 70, No. 1 (Feb., 1997), pp. 22-31
- A Note on Spence's Logarithmic Transcendent
- Watson, G. N., Quart. J. Math. Oxford Ser. 8, 39-42, 1937
- ABCDEFG Is a Regular Heptagon in a Circle of Unit Radius; To Prove That AC+AD-AB=√7
- T. S. Tufton, The Mathematical Gazette Vol. 18, No. 230 (Oct., 1934), pp. 274-275
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=heptagon
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=silver+constant
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
==관련도서
- 도서내검색
- 도서검색
==관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
==링크