"조화수열과 조화급수"의 두 판 사이의 차이

2010년 6월 18일 (금) 11:05 판

\(\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots\)

\(\sum_{n=1}^\infty H_nz^n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z}\)

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}z^n =\operatorname{Li}_2(z)+\frac{1}{2}\log^2(1-z)\)

\(z=e^{it}\), \(0 \leq t \leq \pi\) 에서

위 식의 실수부를 취하면,

\(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)\)

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}\sin nt=\operatorname{Cl}_2(t)+\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{(n+1)^2}=\frac{11\pi^4}{360}\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{n^2}=\frac{17\pi^4}{360}\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^3}=\frac{\pi^4}{72}\)

@@ 23번째 줄: / 23번째 줄: @@
 <math>\sum_{n=1}^\infty H_nz^n  =  \frac {-\ln(1-z)}{1-z}</math>
-<math>\sum_{n=1}^\infty H_nz^n  =  \frac {-\ln(1-z)}{1-z}</math>
+<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}z^n  =\operatorname{Li}_2(z)+\frac{1}{2}\log^2(1-z)</math>
+<math>z=e^{it}</math>, <math>0 \leq t \leq \pi</math> 에서
+위 식의 실수부를 취하면,
+<math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)</math>
+<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}\sin nt=\operatorname{Cl}_2(t)+\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})</math>
+[[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]