"조화수열과 조화급수"의 두 판 사이의 차이

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<math>\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots</math>
 
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">성질</h5>
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<math>\sum_{n=1}^\infty H_nz^n  =  \frac {-\ln(1-z)}{1-z}</math>
 
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">생성함수의 응용</h5>
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<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}z^{n+1}  =\frac{1}{2}\log^2(1-z)</math>
  
 
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}z^n  =\operatorname{Li}_2(z)+\frac{1}{2}\log^2(1-z)</math>
 
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}z^n  =\operatorname{Li}_2(z)+\frac{1}{2}\log^2(1-z)</math>
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<math>z=e^{it}</math>, <math>0 \leq t \leq \pi</math> 에서 
 
<math>z=e^{it}</math>, <math>0 \leq t \leq \pi</math> 에서 
  
위 식의 실수부를 취하면, 
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위 식의 실수부를 취하면, 각각 다음 식을 얻는다.
  
<math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)</math>
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<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}\sin (n+1)t=\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})</math>
  
 
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}\sin nt=\operatorname{Cl}_2(t)+\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})</math>
 
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}\sin nt=\operatorname{Cl}_2(t)+\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})</math>

2010년 6월 18일 (금) 11:11 판

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개요
  • 조화수열의 정의
    \(H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\)

 

\(\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots\)

 

성질

 

 

 

생성함수

\(\sum_{n=1}^\infty H_nz^n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z}\)

 

 

생성함수의 응용

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}z^{n+1} =\frac{1}{2}\log^2(1-z)\)

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}z^n =\operatorname{Li}_2(z)+\frac{1}{2}\log^2(1-z)\)

 

\(z=e^{it}\), \(0 \leq t \leq \pi\) 에서 

위 식의 실수부를 취하면, 각각 다음 식을 얻는다.

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}\sin (n+1)t=\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})\)

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}\sin nt=\operatorname{Cl}_2(t)+\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})\)

로바체프스키와 클라우센 함수

 

 

 

 

조화수열과 급수

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{(n+1)^2}=\frac{11\pi^4}{360}\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{n^2}=\frac{17\pi^4}{360}\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^3}=\frac{\pi^4}{72}\)

 

 

 

 

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