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*  다음조건을 만족시키는 <math>F</math>의 체확장 <math>K=F(a_1,a_2,\cdots,a_r)</math>를 거듭제곱근 체확장이라 한다<br> 정수 <math>n_1,\cdots,n_r</math>이 존재하여, <math>a_1^{n_1}\in F</math> 이고 <math>1<i\leq r</math>에 대하여 <math>a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})</math><br>
 
*  다음조건을 만족시키는 <math>F</math>의 체확장 <math>K=F(a_1,a_2,\cdots,a_r)</math>를 거듭제곱근 체확장이라 한다<br> 정수 <math>n_1,\cdots,n_r</math>이 존재하여, <math>a_1^{n_1}\in F</math> 이고 <math>1<i\leq r</math>에 대하여 <math>a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})</math><br>
 
*  풀어쓰면 다음과 같다<br>
 
*  풀어쓰면 다음과 같다<br>
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*  적당한 원소 <math>a_1\in F_1</math>와 자연수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>F_2=F_1(\sqrt[n_1]a_1)</math><br>
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*  원소 <math>b_1\in F</math>와 자연수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>a_1=\sqrt[n_1]b_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>F_1=F(a_1)=F(\sqrt[n_1]b_1)</math><br>
−
*  적당한 원소 <math>a_1\in F_1</math>와 자연수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>F_2=F_1(\sqrt[n_1]a_1)</math><br>
+
*  원소 <math>b_2\in F_1</math>와 자연수 <math>n_2</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>a_2=\sqrt[n_2]b_2</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>F_1=F(b_1)=F(\sqrt[n_1]a_1)</math><br>
 +
*  적당한 원소 <math>a_2\in F_2</math>와 자연수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>F_2=F_1(\sqrt[n_1]a_1)</math><br>
 
*  이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=R_0</math>의 체확장 <math>R</math> 을 거듭제곱근 체확장이라 한다<br>
 
*  이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=R_0</math>의 체확장 <math>R</math> 을 거듭제곱근 체확장이라 한다<br>
 
* [[정다각형의 작도]], [[5차방정식과 근의 공식]] 에서 중요하게 사용되는 개념이다<br>
 
* [[정다각형의 작도]], [[5차방정식과 근의 공식]] 에서 중요하게 사용되는 개념이다<br>

2010년 2월 2일 (화) 18:08 판

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개요
  • 사칙연산을 할 수 있는 대수적 구조
  • 실수, 복소수, 유한체, p-adic 체, function field 등

 

 

 

체(field)의 정의
  • 체 \(<\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1>\)
  • 집합 F와 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어, 다음과 같은 조건을 만족시킴
    \((\mathbb{F}, +)\)는 아벨군이며 0은 항등원이다. 즉 덧셈에 대한 아벨군을 이룬다.
    \((\mathbb{F}^{*}, \cdot)\)는 아벨군이며 1은 항등원이다. 여기서 \(\mathbb{F}^{*}\)은 0을 제외한 원소들의 집합.
    더하기와 곱하기는 분배법칙을 만족시킨다. 즉, 모든 원소 \(a,b,c\in \mathbb{F}\)에 대하여 \(a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)\) 이 성립한다.

 

 

체확장

 

 

 

거듭제곱근 체확장(radical extension)
  • 기본체 \(F=F_0\)
  • 다음조건을 만족시키는 \(F\)의 체확장 \(K=F(a_1,a_2,\cdots,a_r)\)를 거듭제곱근 체확장이라 한다
    정수 \(n_1,\cdots,n_r\)이 존재하여, \(a_1^{n_1}\in F\) 이고 \(1<i\leq r\)에 대하여 \(a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})\)
  • 풀어쓰면 다음과 같다
  • 원소 \(b_1\in F\)와 자연수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(a_1=\sqrt[n_1]b_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(F_1=F(a_1)=F(\sqrt[n_1]b_1)\)
  • 원소 \(b_2\in F_1\)와 자연수 \(n_2\)에 대하여, 거듭제곱근 \(a_2=\sqrt[n_2]b_2\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(F_1=F(b_1)=F(\sqrt[n_1]a_1)\)
  • 적당한 원소 \(a_2\in F_2\)와 자연수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(F_2=F_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
  • 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 한다
  • 정다각형의 작도, 5차방정식과 근의 공식 에서 중요하게 사용되는 개념이다

 

 

 

다항식과 갈루아체확장
  • (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에서 정의된 다항식 \(x^3-2=0\)
  • 해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
  • 이 때, 체 \(K\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨

 

 

역사

 

 

 

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