"타니야마-시무라 추측(정리)"의 두 판 사이의 차이

2010년 8월 24일 (화) 09:23 판

타원곡선
\(E: y^2=x^3-4x^2+16\)
conductor = 11
유리수체 위의 해의 개수
\(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
\(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\) :
\(a_p=p+1-M_p\)
모듈라 형식
\(f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }- 2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots\)
다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 각각 위에서 정의한 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 이 일반적으로 성립함을 볼 수 있음
\(\begin{array}{ccc} p & {a_p} & c_p} \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & -1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 7 & -2 & -2 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 4 & 4 \\ 17 & -2 & -2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & -1 & -1 \\ 29 & 0 & 0 \\ 31 & 7 & 7 \\ 37 & 3 & 3 \\ 41 & -8 & -8 \\ 43 & -6 & -6 \\ 47 & 8 & 8 \\ 53 & -6 & -6 \\ 59 & 5 & 5 \\ 61 & 12 & 12 \\ 67 & -7 & -7 \\ 71 & -3 & -3 \end{array} \)

타원곡선
\(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)
conductor = 20
유리수체 위의 해의 개수
\(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3+x^2+4x+4\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
\(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\)
\(a_p=p+1-M_p\)
모듈라 형식
\(f(\tau)={\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})^2(1-q^{10n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{3 }- q^{5 }+ 2 q^{7 }+ q^{9 }+ 2 q^{13 }+ 2 q^{15 }- 6 q^{17 }- 4 q^{19 }- 4 q^{21 }+ 6 q^{23 }+\cdots\)
다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 임을 볼 수 있음
\( \begin{array}{ccc} p & a_p & c_p \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & -2 \\ 5 & -1 & -1 \\ 7 & 2 & 2 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 2 & 2 \\ 17 & -6 & -6 \\ 19 & -4 & -4 \\ 23 & 6 & 6 \\ 29 & 6 & 6 \\ 31 & -4 & -4 \\ 37 & 2 & 2 \\ 41 & 6 & 6 \\ 43 & -10 & -10 \\ 47 & -6 & -6 \\ 53 & -6 & -6 \\ 59 & 12 & 12 \\ 61 & 2 & 2 \\ 67 & 2 & 2 \\ 71 & -12 & -12 \end{array} \)

타원곡선
\(y^2=x^3-x\)
모듈라 형식
\(f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots\)

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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">예3</h5>
 *  타원곡선 <br><math>y^2=x^3-x</math><br>
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 * [http://www.jstor.org/stable/2324924 Number Theory as Gadfly]<br>
 ** B. Mazur, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 98, No. 7 (Aug. - Sep., 1991), pp. 593-610
+*  How the number of points of an elliptic curve over a fixed prime field varies<br>
+** J. Lond. Math. Soc. 43 (1968), pp. 57--60
 * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=