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* [http://www.ams.org/notices/200202/fea-lenstra.pdf Solving the Pell Equation]H. W. Lenstra Jr. Notices of the AMS 49 (2002), 182–92 | * [http://www.ams.org/notices/200202/fea-lenstra.pdf Solving the Pell Equation]H. W. Lenstra Jr. Notices of the AMS 49 (2002), 182–92 | ||
| − | * | + | * Lehmer, D. H. 1928. On the Multiple Solutions of the Pell Equation. The Annals of Mathematics 30, no. 1/4. Second Series (January 1): 66-72. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/1968268 10.2307/1968268]. |
* [http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=Pell%27s+equation http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=Pell's+equation] | * [http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=Pell%27s+equation http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=Pell's+equation] | ||
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
2011년 3월 10일 (목) 02:53 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- \(x^2-dy^2=1\) (\(d\) 는 완전제곱수를 약수로 갖지 않는 1보다 큰 자연수)형태의 디오판투스 방정식
- 연분수 전개를 통하여 모든 해를 구할 수 있음
- 해의 집합은 군의 구조를 통하여 이해할 수 있음
- \(x^2-dy^2=\pm 1\) 의 자연수 해를 구하는 문제는 실수 이차 수체의 unit 을 구하는 문제와 같음
연분수 전개와 fundamental solution
- \(\sqrt{d}\) 를 연분수 전개할때 얻어지는 convergents \({h_i}/{k_i}\) 가 펠방정식의 해가 되는 \(x=h_i, y=k_i\) 를 찾을 수 있으며, 이 때 \(x\)값을 가장 작게 하는 해를 fundamental solution 이라 한다.
(정리)
펠방정식의 해는 연분수 전개의 convergents 중에서 찾을 수 있다.
(증명)
연분수와 유리수 근사 에서 펠 방정식에 관련한 중요한 정리는 다음과 같다
무리수 \(\alpha\)에 대하여, 유리수 \(p/q\)가 아래의 부등식을 만족시키는 경우, \(p/q\)는 무리수 \(\alpha\)의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다
\(|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{2{q^2}}\)
이 정리를 이용하자.
펠방정식의 정수해 \(x_{1}^2-dy_{1}^2=1\) 는 \(x_{1}^2-dy_{1}^2=(x_{1}+\sqrt{d}y_{1})(x_{1}-\sqrt{d}y_{1})=1\)를 만족시키므로,
\(|x_{1}-\sqrt{d}y_{1}|=\frac{1}{|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}|}\)
\(|\sqrt{d}-\frac{x_{1}}{y_{1}}|=\frac{1}{|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}||y_{1}|}<\frac{1}{\sqrt{d}y_{1}^{2}}\leq \frac{1}{2y_{1}^{2}}\)
따라서, 펠방정식의 해는 연분수 전개의 convergents 중에서 찾을 수 있다. ■
d=7인 경우
- \(\sqrt{7}\)의 연분수 전개를 통한 유리수근사
\(\frac{2}{1},\frac{3}{1},\frac{5}{2},\frac{8}{3},\frac{37}{14}\cdots\) - 펠방정식의 해 찾기
\(2^2-d\cdot 1^2=-3\)
\(3^2-d\cdot 1^2=2\)
\(5^2-d\cdot 2^2=-3\)
\(8^2-d\cdot 3^2=1\)
\(37^2-d\cdot 14^2=-3\) - 따라서 펠방정식 \(x^2-7y^2=1\)의 fundamental solution 은 \((8,3)\) 이된다
d=13
- fundamental soltion \((x_1,y_1)\) 가 \(y_1>6\) 를 만족시키는 가장 작은 d
- \(649^2-13\cdot180^2=1\)
d=61
d=109
- 페르마의 문제
- \(158070671986249^2 -109\cdot15140424455100^2=1\)
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/펠방정식
- http://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Conics - a Poor Man's Elliptic CurvesFranz Lemmermeyer, arXiv:math/0311306v1
- Solving the Pell EquationH. W. Lenstra Jr. Notices of the AMS 49 (2002), 182–92
- Lehmer, D. H. 1928. On the Multiple Solutions of the Pell Equation. The Annals of Mathematics 30, no. 1/4. Second Series (January 1): 66-72. doi:10.2307/1968268.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=Pell's+equation
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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