"푸리에 급수"의 두 판 사이의 차이

2010년 5월 27일 (목) 18:11 판

\(2\pi\)를 주기로 가지는 함수 \(f\)
푸리에 계수의 정의
\(a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0\)
\(b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1\)
푸리에 급수
\(f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]\)

\(f(x)=x\), \(-\pi < x < \pi\)
\(f(x)\sim2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)\)
\(f(x)=\frac{\pi-x}{2}\),\(0 < x \leq \pi\)
\(f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin n x\)
\(f(x)=x^2\), \(-\pi < x < \pi\)
\(f(x)\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)\)

로바체프스키와 클라우센 함수
\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때,\(Cl_2(\theta)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\sin n\theta\)

로그감마 함수
\(\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}\sin 2\pi nx\)

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 * <math>2\pi</math>를 주기로 가지는 함수 <math>f</math><br>
 *  푸리에 계수의 정의<br><math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0</math><br><math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1</math><br>
-*  푸리에 급수<br><math>\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]</math><br>
+*  푸리에 급수<br><math>f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]</math><br>
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 <h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">예2</h5>
-*   <br>
+* <math>f(x)=x</math>, <math>-\pi < x < \pi</math><br><math>f(x)\sim2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)</math><br>
+* <math>f(x)=\frac{\pi-x}{2}</math>,<math>0 < x \leq \pi</math><br><math>f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin n x</math><br>
-<math>-\pi < x < \pi</math> 일 때, <math>x=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)</math>
+* <math>f(x)=x^2</math>, <math>-\pi < x < \pi</math><br><math>f(x)\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)</math><br>
-<math>0 < \theta \leq \pi</math> 일때, <math>\frac{\pi -\theta}{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin n\theta</math>